톰 공간

대수적 위상수학에서 톰 공간(Thom空間, 영어: Thom space)은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 파라콤팩트 공간 $X$
• $n$차원 실수 벡터 다발 $\mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow E\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,X$

그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구 $\mathbb {S} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\sqcup \{\infty \}$를 올로 하는 올다발 $\operatorname {Sph} (E)\twoheadrightarrow X$을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 톰 공간 $\operatorname {Th} (E)$이라고 한다.

$\operatorname {Th} (E):={\frac {\operatorname {Sph} (E)}{\{(x,\infty _{x})\colon x\in X\}}}$

내적을 통한 정의

$E$ 위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적

$\eta \in \Gamma (E^{*}\otimes E^{*})$

을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의 $x\in X$에 대하여 올 $E_{x}$의 닫힌 공

$\operatorname {Ball} (\pi ):=\{e\in E_{x}\colon \eta (e,e)\leq 1\}$

및 초구

$\operatorname {Sph} (\pi ):=\{e\in E_{x}\colon \eta (e,e)=1\}$

을 정의할 수 있다. 이 둘은 $X$ 위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

$\operatorname {Sph} (\pi )\subseteq \operatorname {Ball} (\pi )\subseteq E$

톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.

$\operatorname {Th} (\pi )={\frac {\operatorname {Ball} (\pi )}{\operatorname {Sph} (\pi )}}$

이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은 $\operatorname {Sph} (\pi )$의 동치류이다.

성질

연산에 대한 호환

두 파라콤팩트 공간 $X$, $Y$과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발

$\pi \colon E\twoheadrightarrow X$

$\varpi \colon F\twoheadrightarrow Y$

가 주어졌다고 하자. 곱공간 $X\times Y$으로부터의 사영 사상

$\operatorname {proj} _{X}\colon X\times Y\twoheadrightarrow X$

$\operatorname {proj} _{Y}\colon X\times Y\twoheadrightarrow Y$

을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김

$\operatorname {proj} _{X}^{*}\pi \colon E\twoheadrightarrow X\times Y$

$\operatorname {proj} _{X}^{*}\varpi \colon F\twoheadrightarrow X\times Y$

을 구한다. 이들의 직합을 $\pi \boxtimes \varpi$로 표기하겠다.

$\pi \boxtimes \varpi \colon \operatorname {proj} _{X}^{*}E\oplus \operatorname {proj} _{X}^{*}F\twoheadrightarrow X\times Y$

이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간 $\operatorname {Th} (\pi \boxtimes \varpi )$는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.

$\operatorname {Th} (\pi \boxtimes \varpi )=\operatorname {Th} (\pi )\wedge \operatorname {Th} (\varpi )$

특히, 만약 $\varpi$가 한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.

$Y=\{\bullet \}$

$F=Y\times \mathbb {R} ^{n}$

그렇다면, $\varpi$의 톰 공간은 초구이므로, ($\operatorname {Th} (\varpi )=\mathbb {S} ^{n}$) 다음을 얻는다.

$\operatorname {Th} (E\oplus \mathbb {R} ^{n})=\operatorname {Th} (E)\wedge \mathbb {S} ^{n}=\operatorname {\Sigma } ^{n}(\operatorname {Th} (E))$

여기서 $\operatorname {\Sigma } ^{n}$은 축소 현수를 $n$번 취한 것이다.

함자성

두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발

$\pi \colon E\twoheadrightarrow X$

$\varpi \colon F\twoheadrightarrow Y$

및 연속 함수

$f\colon X\to Y$

위의 벡터 다발 사상

$\phi \colon E\to F$

가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수

$\operatorname {Th} (f,\phi )\colon \operatorname {Th} (\pi )\to \operatorname {Th} (\varpi )$

$\operatorname {Th} (f,\phi )\colon (x,e)\mapsto (f(x),\phi (e))\qquad (e\in E_{x})$

$\operatorname {Th} (f,\phi )\colon \infty \mapsto \infty$

가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자

$\operatorname {VectBun_{fin}} \to \operatorname {Top} _{\bullet }$

를 정의한다.

호몰로지

초구 다발 $\operatorname {Sph} (E)$의 무한대 단면을 $s_{\infty }\colon B\to \operatorname {Sph} (E)$, 영단면을 $s_{0}\colon B\to E\subsetneq \operatorname {Sph} (E)$라고 적자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.

$\operatorname {\tilde {H}} ^{\bullet }(\operatorname {Th} (E))=\operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s_{\infty }(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),s_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(\operatorname {Sph} (E),\operatorname {Sph} (E)\setminus s_{0}(B)\right)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }\left(E,E\setminus s_{0}(B)\right)$

톰 동형

유한 차원 실수 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow B$ 및 음이 아닌 정수 $k\in \mathbb {N}$에 대하여, 다음과 같은 $\mathbb {F} _{2}$-벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.

$\operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {F} _{2})\cong \operatorname {\tilde {H}} ^{k+n}(\operatorname {Th} (E);\mathbb {F} _{2})$

여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 톰 동형(영어: Thom isomorphism)이라고 한다.

톰 동형은 구체적으로 어떤 원소

$\Phi \in \operatorname {H} ^{n}(E,E\setminus s_{0}(B);\mathbb {F} _{2})$

에 의한 합곱으로 주어진다.

$\Phi \smile \colon \operatorname {H} ^{k}(E;\mathbb {F} _{2})\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s_{0}(B);\mathbb {F} _{2})$

만약 $E\twoheadrightarrow B$가 유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환 $R$ 계수에 대하여 존재한다.

$\Phi \smile \pi ^{*}(-)\colon \operatorname {H} ^{k}(B;R)\to \operatorname {H} ^{k+n}(E,E\setminus s_{0}(B);R)$

예

자명한 벡터 다발

파라콤팩트 공간 $X$ 위의 자명한 벡터 다발 $\pi \colon X\times \mathbb {R} ^{n}$의 톰 공간을 생각하자. 이 경우

$\operatorname {Ball} (\pi )=X\times \mathbb {B} ^{n}$

$\operatorname {Sph} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n-1}$

이며,

$\operatorname {Th} (\pi )=X\times \mathbb {S} ^{n}/(X\times \{\bullet _{\mathbb {S} ^{n}}\})$

이다. 여기서 $\bullet _{\mathbb {S} ^{n}}\in \mathbb {S} ^{n}$은 초구 $\mathbb {S} ^{n}$에 부여한 임의의 밑점으로, 공 $\mathbb {B} ^{n}$의 경계에 속한다.

만약 $X_{+}=X\sqcup \{\bullet _{X}\}$가 $X$에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는

$\operatorname {Th} (\pi )\cong X_{+}\wedge \mathbb {S} ^{n}$

가 된다. 여기서 $\cong$은 위상 동형이며, $\wedge$는 점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히, 만약 $n=0$일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은

$\operatorname {Th} (\pi )\cong X_{+}\wedge \mathbb {S} ^{0}\cong X_{+}$

이다.

콤팩트 공간 위의 벡터 다발

콤팩트 공간 $X$ 위의 벡터 다발 $\pi \colon E\twoheadrightarrow X$의 톰 공간 $\operatorname {Th} (\pi )$은 $E$의 알렉산드로프 콤팩트화와 위상 동형이다.

$\operatorname {Th} (\pi )\cong E^{+}$

톰 스펙트럼

 이 부분의 본문은 톰 스펙트럼입니다.

분류 공간

$\operatorname {O} (n)\hookrightarrow \operatorname {EO} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)$

위의 연관 벡터 다발

$\mathbb {R} ^{n}\hookrightarrow (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})\twoheadrightarrow \operatorname {BO} (n)$

의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.

$\operatorname {MO} (n):=\operatorname {Th} (\operatorname {EO} (n)\times _{\operatorname {O} (n)}\mathbb {R} ^{n})$

이들 사이에는 자연스러운 사상

$\Sigma \operatorname {MO} (n)\to \operatorname {MO} (n+1)$

이 존재하여, 스펙트럼 $\operatorname {MO}$를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다.

역사

르네 톰이 1954년에 도입하였다.

참고 문헌

• Bott, Raoul; Tu, Loring Wuliang (1982). 《Differential forms in algebraic topology》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 82. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-3951-0. ISBN 978-1-4419-2815-3. ISSN 0072-5285. 

외부 링크

• “Thom space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Thom space”. 《nLab》 (영어). 
• Thom, Konrad (2012년 6월 13일). “Thom spaces” (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 12월 11일). “The Thom isomorphism theorem”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “Explanation for the Thom-Pontryagin construction (and its generalisations)” (영어). Math Overflow.