톰 공간

대수적 위상수학에서, 톰 공간(Thom空間, 영어: Thom space)은 실수 벡터 다발에 하나의 “무한대” 점을 추가하여 얻는 위상 공간이다. 이를 사용하여 미분위상수학의 일부 대상들을 호모토피 이론의 기법으로 다룰 수 있다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 파라콤팩트 공간  
  •  차원 실수 벡터 다발  

그렇다면, 각 올의 알렉산드로프 콤팩트화를 취하여, 초구  를 올로 하는 올다발  을 정의할 수 있다. 이제, 각 올의 콤팩트화 아래 추가된 점들을 한 점으로 붙인 것을 톰 공간  이라고 한다.

 

내적을 통한 정의편집

  위에, 올별 임의의 연속 양의 정부호 내적

 

을 임의로 고르자. 이를 통하여, 임의의  에 대하여 올  의 닫힌 공

 

및 초구

 

을 정의할 수 있다. 이 둘은   위의 올다발을 이루며, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

 

톰 공간은 다음과 같은 몫공간이다.

 

이는 자연스럽게 점을 가진 공간을 이루며, 그 밑점은  동치류이다.

성질편집

연산에 대한 호환편집

파라콤팩트 공간  ,  과 그 위의 두 유한 차원 벡터 다발

 
 

가 주어졌다고 하자. 곱공간  으로부터의 사영 사상

 
 

을 잡고, 각 벡터 다발의 사상과의 당김

 
 

을 구한다. 이들의 직합 로 표기하겠다.

 

이 때 위 사상으로 정의되는 올다발의 톰 공간  는 각각의 톰 공간에 서로 분쇄곱을 취한 것과 위상 동형이다.

 

특히, 만약  한원소 공간 위의 (자명한) 벡터 다발이라고 하자.

 
 

그렇다면,  의 톰 공간은 초구이므로, ( ) 다음을 얻는다.

 

여기서  축소 현수 번 취한 것이다.

함자성편집

두 파라콤팩트 공간 위의 유한 차원 벡터 다발

 
 

연속 함수

 

위의 벡터 다발 사상

 

가 주어졌을 때, 자연스러운, 밑점을 보존하는 연속 함수

 
 
 

가 존재한다. 즉, 이는 유한 차원 벡터 다발의 범주에서 점을 가진 공간의 범주로 가는 함자

 

를 정의한다.

호몰로지편집

초구 다발  의 무한대 단면을  , 영단면을  라고 적자.

톰 공간의 축소 코호몰로지는 다음과 같은 상대 호몰로지와 같다.

 

톰 동형편집

유한 차원 실수 벡터 다발   및 음이 아닌 정수  에 대하여, 다음과 같은  -벡터 공간의 표준적인 동형 사상이 존재한다.

 

여기서 우변은 축소 코호몰로지이다. 이를 톰 동형(영어: Thom isomorphism)이라고 한다.

톰 동형은 구체적으로 어떤 원소

 

에 의한 합곱으로 주어진다.

 

만약  유향 벡터 다발이라면, 이는 임의의 가환환   계수에 대하여 존재한다.

 

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자명한 벡터 다발편집

파라콤팩트 공간   위의 자명한 벡터 다발  의 톰 공간을 생각하자. 이 경우

 
 

이며,

 

이다. 여기서  초구  에 부여한 임의의 밑점으로, 공  의 경계에 속한다.

만약   에 분리된 밑점을 추가한 점을 가진 공간이라면, 이는

 

가 된다. 여기서  위상 동형이며,  점을 가진 공간끼리의 분쇄곱이다.

특히, 만약  일 경우 (0차원 벡터 다발), 톰 공간은

 

이다.

콤팩트 공간 위의 벡터 다발편집

콤팩트 공간   위의 벡터 다발  의 톰 공간   알렉산드로프 콤팩트화위상 동형이다.

 

톰 스펙트럼편집

분류 공간

 

위의 연관 벡터 다발

 

의 톰 공간을 다음과 같이 표기하자.

 

이들 사이에는 자연스러운 사상

 

이 존재하여, 스펙트럼  를 정의하는데, 이를 톰 스펙트럼이라고 한다.

역사편집

르네 톰이 1954년에 도입하였다.[1]

참고 문헌편집

  1. Thom, René (1954). “Quelques propriétés globales des variétés différentiables”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (프랑스어) 28: 17–86. doi:10.1007/BF02566923. ISSN 0010-2571. MR 0061823. 2016년 2월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 1월 27일에 확인함. 

외부 링크편집