투에 보조정리

수론에서, 투에 보조정리(-補助定理, 영어: Thue's lemma)는 일차 합동 방정식이 다소 작은 해를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다. 비둘기집 원리의 수론에서의 한 가지 응용이다. 페르마 두 제곱수 정리의 증명에 사용된다.

정의편집

양의 정수  이 정수  와 서로소라고 하자. 투에 보조정리에 따르면, 다음을 만족시키는 정수  가 존재한다.[1]:264-265

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혹자[2]:43는 다음과 같은 명제를 투에 보조정리로 삼는다. 정수   라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 정수  가 존재한다.

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증명편집

다음과 같은 집합을 생각하자.[1]:264-265

 

0과   사이의 두 정수의 쌍은  개이며,  이므로, 다음과 같은 정수  가 존재한다.

 
 

즉,  ,  라고 하면, 다음이 성립한다.

 
 

만약  이거나  이라면, 위와 같은 합동과  의 서로소에 따라  이다. 이는  에 모순이다. 따라서,  이다.

역사편집

노르웨이의 수학자 악셀 투에가 처음 증명하였다.

각주편집

  1. Burton, David M. (2007). 《Elementary Number Theory》 (영어) 6판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-305188-8. LCCN 2005052231. 
  2. Shoup, Victor (2009). 《A Computational Introduction to Number Theory and Algebra》 (영어) 2판. Cambridge: Cambridge University Press. 

참고 문헌편집

  • 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003