다음 데이터가 주어졌다고 하자.
n
{\displaystyle n}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
매끄러운 벡터 다발
E
,
F
↠
M
{\displaystyle E,F\twoheadrightarrow M}
M
{\displaystyle M}
k
{\displaystyle k}
미분 연산자
D
:
Γ
∞
(
M
,
E
)
→
Γ
∞
(
M
,
F
)
{\displaystyle D\colon \Gamma ^{\infty }(M,E)\to \Gamma ^{\infty }(M,F)}
D
{\displaystyle D}
주표상 이 국소 좌표계에서
σ
D
(
x
,
v
)
=
P
μ
1
…
μ
k
v
μ
1
⋯
v
μ
k
(
x
∈
M
,
v
∈
T
x
∗
M
,
P
μ
1
…
μ
k
∈
GL
(
E
x
,
F
x
;
R
)
)
{\displaystyle \sigma _{D}(x,v)=P^{\mu _{1}\dotso \mu _{k}}v_{\mu _{1}}\dotsm v_{\mu _{k}}\qquad \left(x\in M,\;v\in \mathrm {T} _{x}^{*}M,\;P^{\mu _{1}\dotso \mu _{k}}\in \operatorname {GL} (E_{x},F_{x};\mathbb {R} )\right)}
라고 하자. 이는 벡터 다발 사상
σ
D
:
E
⊗
Sym
k
(
T
∗
M
)
→
F
{\displaystyle \sigma _{D}\colon E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)\to F}
를 정의한다. (
Sym
k
{\displaystyle \operatorname {Sym} ^{k}}
k
{\displaystyle k}
대칭 대수 벡터 다발 이다.) 이 벡터 다발 사상 의 핵 , 즉
ker
σ
D
=
{
(
x
,
u
)
∈
Γ
∞
(
E
⊗
Sym
k
(
T
∗
M
)
:
σ
D
(
x
,
u
)
=
0
}
⊆
E
⊗
Sym
k
(
T
∗
M
)
{\displaystyle \ker \sigma _{D}=\left\{(x,u)\in \Gamma ^{\infty }(E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)\colon \sigma _{D}(x,u)=0\right\}\subseteq E\otimes \operatorname {Sym} ^{k}(\mathrm {T} ^{*}\!M)}
을
s
{\displaystyle s}
특성점 의 집합이라고 한다.
임의의 실수 값 매끄러운 함수
h
:
M
→
R
{\displaystyle h\colon M\to \mathbb {R} }
가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
h
−
1
(
t
)
{\displaystyle h^{-1}(t)}
n
−
1
{\displaystyle n-1}
σ
D
(
x
,
d
h
|
x
)
=
0
{\displaystyle \sigma _{D}(x,\mathrm {d} h|_{x})=0}
일 경우, 각
h
−
1
(
t
)
{\displaystyle h^{-1}(t)}
D
{\displaystyle D}
특성 초곡면 (영어 : characteristic hypersurface )이라고 한다. 만약
n
=
2
{\displaystyle n=2}
D
{\displaystyle D}
특성 곡선 (영어 : characteristic curve )이라고 하며,
n
=
3
{\displaystyle n=3}
특성 곡면 (영어 : characteristic surface )이라고 한다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
벡터장
X
∈
Γ
∞
(
T
M
)
{\displaystyle X\in \Gamma ^{\infty }(\mathrm {T} M)}
이 주어졌다고 하자. 이에 대한 미분 연산자
D
=
∇
X
:
C
∞
(
R
)
→
C
∞
(
R
)
{\displaystyle D=\nabla _{X}\colon {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )\to {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} )}
를 생각하자.
D
{\displaystyle D}
h
:
M
→
R
{\displaystyle h\colon M\to \mathbb {R} }
⟨
X
,
d
h
⟩
=
0
{\displaystyle \langle X,\mathrm {d} h\rangle =0}
을 만족시킨다.
예를 들어, 편의상 준 리만 계량
g
{\displaystyle g}
γ
:
R
→
M
{\displaystyle \gamma \colon \mathbb {R} \to M}
g
(
X
,
γ
˙
)
=
0
{\displaystyle g(X,{\dot {\gamma }})=0}
인 것이다. 이는 1차 상미분 방정식 이다.
매우 구체적으로,
M
=
R
2
=
{
(
x
,
y
)
:
x
,
y
∈
R
}
{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)\colon x,y\in \mathbb {R} \}}
X
=
p
∂
x
+
q
∂
y
{\displaystyle X=p\partial _{x}+q\partial _{y}}
h
(
x
,
y
)
=
q
x
−
p
y
{\displaystyle h(x,y)=qx-py}
로 정의되는 직선족
(
h
−
1
(
t
)
)
t
∈
R
{\displaystyle (h^{-1}(t))_{t\in \mathbb {R} }}
참고 문헌
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외부 링크
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