특성 부분군

군론에서, 특성 부분군(特性部分群, 영어: characteristic subgroup)은 주어진 의 모든 자기 동형 사상에 대하여 불변인 부분군이다.

정의편집

 부분군  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는   특성 부분군이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  
  • 임의의  에 대하여,  . 즉,   자기 동형 사상에 대하여 불변이다.

성질편집

주어진 군의 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다.

만약   의 특성 부분군이며,   의 특성 부분군이라면,   의 특성 부분군이다. 만약   의 정규 부분군이며,   의 특성 부분군이라면,   의 정규 부분군이다.

증명:

우선,   의 특성 부분군이며,   의 특성 부분군이라고 가정하자. 임의의  에 대하여,  를 보이면 된다.  이므로  이며, 따라서

 

이다.

이제,   의 정규 부분군이며,   의 특성 부분군이라고 가정하자. 임의의  에 대하여,  를 보이면 된다.  이므로  이며, 따라서

 

이다.

편집

 에 대하여, 다음 부분군들은  의 특성 부분군이다.

  • 자명 부분군  
  •  
  • 중심  

같이 보기편집

외부 링크편집