특성 부분군

군론에서 특성 부분군(特性部分群, 영어: characteristic subgroup)은 주어진 군의 모든 자기 동형 사상에 대하여 불변인 부분군이다.

정의

군 $G$의 부분군 $H$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $H$를 $G$의 특성 부분군이라고 한다.

• 임의의 $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$에 대하여, $\phi (H)\subseteq H$
• 임의의 $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$에 대하여, $\phi (H)=H$. 즉, $H$는 $G$의 자기 동형 사상에 대하여 불변이다.

성질

주어진 군의 모든 특성 부분군은 정규 부분군이다.

만약 $H$가 $G$의 특성 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라면, $K$는 $G$의 특성 부분군이다. 만약 $H$가 $G$의 정규 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라면, $K$는 $G$의 정규 부분군이다.

증명:

우선, $H$가 $G$의 특성 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라고 가정하자. 임의의 $\phi \in \operatorname {Aut} (G)$에 대하여, $\phi (K)=K$를 보이면 된다. $\phi (H)=H$이므로 $\phi |_{H}\in \operatorname {Aut} (H)$이며, 따라서

$\phi (K)=\phi |_{H}(K)=K$

이다.

이제, $H$가 $G$의 정규 부분군이며, $K$가 $H$의 특성 부분군이라고 가정하자. 임의의 $\phi \in \operatorname {Inn} (G)$에 대하여, $\phi (K)=K$를 보이면 된다. $\phi (H)=H$이므로 $\phi |_{H}\in \operatorname {Aut} (H)$이며, 따라서

$\phi (K)=\phi |_{H}(K)=K$

이다.

예

군 $G$에 대하여, 다음 부분군들은 $G$의 특성 부분군이다.

• 자명 부분군 $\{1_{G}\}$
• $G$
• 중심 $\operatorname {Z} (G)$

같이 보기

• 특성 단순군

외부 링크

• “Characteristic subgroup”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.