모노이드
M
{\displaystyle M}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
역원 (영어 : inverse )
y
{\displaystyle y}
x
y
=
y
x
=
1
{\displaystyle xy=yx=1}
이 되는 원소
y
∈
M
{\displaystyle y\in M}
x
∈
M
{\displaystyle x\in M}
y
,
y
′
∈
M
{\displaystyle y,y'\in M}
y
′
=
(
y
x
)
y
′
=
y
(
x
y
′
)
=
y
{\displaystyle y'=(yx)y'=y(xy')=y}
모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 가역원 이라고 한다. 모노이드
M
{\displaystyle M}
부분 집합
Unit
(
M
)
=
{
x
∈
M
:
∃
y
∈
M
:
x
y
=
y
x
=
1
}
{\displaystyle \operatorname {Unit} (M)=\{x\in M\colon \exists y\in M\colon xy=yx=1\}}
은
M
{\displaystyle M}
군 을 이루며, 이를
M
{\displaystyle M}
가역원군 (영어 : group of invertible elements , group of units )이라고 하며,
M
×
{\displaystyle M^{\times }}
M
∗
{\displaystyle M^{*}}
Unit
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {Unit} (M)}
환 의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다.
범주론적 정의
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범주론 적 관점에서, 모노이드 는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주 로 생각할 수 있으며, 이 경우 모노이드 의 원소들은 유일한 대상의 자기 사상 들에 대응한다. 이 경우, 가역원 은 모노이드의 동형 사상 과 같으며, 가역원군 은 유일한 대상의 자기 동형군 과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상 의 개념의 특수한 경우이다.
임의의 작은 범주 는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 가역원군 을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주 에서 동형 사상 이 아닌 사상 들을 삭제하면 준군 을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다.
가역원층
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환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
열린집합
U
⊆
V
⊆
X
{\displaystyle U\subseteq V\subseteq X}
Γ
(
U
;
O
X
×
)
=
(
Γ
(
U
;
O
X
)
)
×
{\displaystyle \Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\left(\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})\right)^{\times }}
res
U
,
V
O
X
×
=
res
U
,
V
O
X
|
Γ
(
U
;
O
X
)
×
{\displaystyle \operatorname {res} _{U,V}^{{\mathcal {O}}_{X}^{\times }}=\operatorname {res} _{U,V}^{{\mathcal {O}}_{X}}|_{\Gamma (U;{\mathcal {O}}_{X})^{\times }}}
인 아벨 군 값의 층
O
X
×
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가역원층 (可逆元層, 영어 : sheaf of units )이라고 한다. (여기서
Γ
(
−
,
−
)
{\displaystyle \Gamma (-,-)}
단면군 을 뜻하며,
res
{\displaystyle \operatorname {res} }
Z
×
=
{
±
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\times }=\{\pm 1\}}
나눗셈환 의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어,
Q
×
=
Q
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}}
체
K
{\displaystyle K}
Mat
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)}
일반선형군
Mat
(
n
;
K
)
×
=
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)^{\times }=\operatorname {GL} (n;K)}
가역행렬 로 구성된 군이다.
대수기하학 에서, 스킴
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
O
X
×
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}
층 코호몰로지
H
1
(
X
;
O
X
×
)
=
Pic
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(X;{\mathcal {O}}_{X}^{\times })=\operatorname {Pic} (X)}
X
{\displaystyle X}
피카르 군 외부 링크
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