갈릴레이 군

물리학과 수학에서 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.

정의

$n$차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$ 위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, 영어: Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

$(t,\mathbf {x} )\mapsto (t+s,t\mathbf {v} +R\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\;(s\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))$

이들은 함수의 합성 아래 $(n+1)(n+2)/2$차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group) $\operatorname {Gal} (n+1)$이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

$\operatorname {Gal} (n+1)=\mathbb {R} ^{n+1}\rtimes \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )$

여기서 $\operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)$은 유클리드 군이다. $\operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )$는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.

$\operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&\mathbf {v} \\\mathbf {0} &R\end{pmatrix}}\colon \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\;R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\right\}$

그렇다면, 반직접곱에서 $\operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )$의 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 위의 작용은 다음과 같다.

$\operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n+1})=\operatorname {GL} (\mathbb {R} ^{n+1})$

${\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon (t,\mathbf {x} )\mapsto {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t\end{pmatrix}}$

갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.

$\operatorname {Gal} (n+1)=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon R\in \operatorname {SO} (n),\;\mathbf {v} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},\;s\in \mathbb {R} \right\}$

이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.

${\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon {\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\t+s\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t+\mathbf {y} \end{pmatrix}}$

갈릴레이 대수

갈릴레이 군 $\operatorname {Gal} (n+1)$의 리 대수를 갈릴레이 대수(Galilei代數, 영어: Galilean algebra) ${\mathfrak {gal}}(n+1)$이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.

생성원	기호	단위
시간 변화	$H$	[시간]−1
공간 병진 이동	$P_{i}$ ($i=1,\dots ,n$)	[길이]−1
공간 회전	$J_{ij}$ ($i,j=1,\dots ,n$, $J_{ij}=-J_{ji}$)	1
갈릴레이 변환	$C_{i}$ ($i=1,\dots ,n$)	[시간] [길이]−1

그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 $i$가 곱해져 있다.)

$[H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=[C_{i},P_{j}]=0$

$[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]$

$[J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]$

$[J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]$

$[C_{i},H]=iP_{i}$

성질

갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.^{:191, §Ⅳ.7}

$\dim \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {gal}}(3+1))=1$

이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 $M$을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.

$[H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=0$

$[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]$

$[J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]$

$[J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]$

$[C_{i},H]=iP_{i}$

$[C_{i},P_{j}]=iM\delta _{ij}$

따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

표현론

3+1차원 갈릴레이 대수 ${\mathfrak {gal}}(3+1)$의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다.

• 중심 전하 $M$. 이는 질량에 해당한다.
• 질량껍질 불변량 $ME-P^{2}/2$. 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다.
• $W_{ij}=MJ_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}$
• $W_{ijk}=P_{i}J_{jk}+P_{j}J_{ki}+P_{k}J_{ij}$

$W_{ij}$ 및 $W_{ijk}$는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.

슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각

• $m$
• $mE_{0}$
• $w_{ij}$
• $w_{ijk}$

라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, $m$은 실수이다. 물리학적으로 $E_{0}\geq 0$이어야만 한다.

유질량 표현

$m\neq 0$인 경우를 생각하자. $(E,\mathbf {P} )$ 공간 위에 질량껍질 제약 $mE=mE_{0}+P^{2}/2$을 가한 초곡면을 질량껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환 $C_{i}$는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다.

유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, $C_{i}$의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 $J_{ij}$에 의해 생성되는 스핀 군 $\operatorname {Spin} (n)$이다 ($n\geq 3$). $n=3$인 경우, 3차원 스핀 군 $\operatorname {Spin} (3)=\operatorname {SU} (2)$의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 $s\in \{0,1/2,1,3/2,\dots \}$에 의하여 완전히 분류된다. 즉, $m\neq 0$인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 $\operatorname {Spin} (n)$의 유니터리 표현 $s$ 및 질량 $m$, 정지 에너지 $E_{0}$에 의하여 분류된다.

무질량 표현

$m=0$인 경우, 유니터리 표현이므로 $mE-\mathbf {p} ^{2}/2=-\mathbf {p} ^{2}/2\leq 0$이다. 유도 표현 방법에 따르면, $(E,\mathbf {P} )$ 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다.

• $\mathbf {p} ^{2}=0$인 경우: 이 경우 안정자군은 $J_{ij}$와 $C_{i}$에 의하여 생성되는 유클리드 군 $\operatorname {ISO} (n)\cong \mathbb {R} ^{n}\rtimes \operatorname {SO} (n)$이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
• $\mathbf {p} ^{2}>0$인 경우: 이 경우 안정자군은 $\operatorname {ISO} (n-1)$이며, 이는 $\mathbf {p}$에 대하여 수직인 방향의 $C_{i}$ 및 $P_{i}$에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 $\operatorname {ISO} (n-1)$의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(영어: action at a distance)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다.

예

1차원 갈릴레이 군

0+1차원 갈릴레이 대수 ${\mathfrak {gal}}(1)$은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 $\operatorname {Gal} (1)$은 1차원 아벨 리 군 $\mathbb {R}$이다.

2차원 갈릴레이 군

1+1차원 갈릴레이 대수 ${\mathfrak {gal}}(1+1)$은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 ${\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )$와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저

${\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )=\operatorname {Span} \{x,p,\hbar \}$

$[x,p]=i\hbar$

$[x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0$

가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$C\mapsto x$

$H\mapsto p$

$P\mapsto \hbar$

이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

응용

갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(영어: Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

역사

갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.^:191–196 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.

참고 문헌

• Arnold, Vladimir I. (1997). 《Mathematical methods of classical mechanics》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Bargmann, Valentine (1954). “On unitary ray representations of continuous groups”. 《Annals of Mathematics》. 2 (영어) 59 (1): 1–46. doi:10.2307/1969831. JSTOR 1969831. 
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (1967). “Nonrelativistic particles and wave equations”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 6 (4): 286–311. Bibcode:1967CMaPh...6..286L. doi:10.1007/bf01646020. 

외부 링크

• “Galilean group”. 《nLab》 (영어). 
• “Classical anomaly”. 《nLab》 (영어). 
• “Galilean, SE(3), Poincare groups - Central Extension” (영어). StackExchange. 
• YAN Kun(2004). Energy-exchange descriptions on the superluminal velocity and quantum fractal(Equation of the one-way speed of light for the constancy of the two-way speed of light). DOI:10.3969/j.issn.1006-8341.2004.03.010.

같이 보기

• 푸앵카레 군
• 유클리드 군
• 로런츠 군