강콤팩트 기수

집합론에서 강콤팩트 기수(强compact基數, 영어: strongly compact cardinal)는 티호노프 정리와 유사한 성질을 만족시키는 무한 기수이다. 큰 기수의 하나이다.

정의

기수 $\kappa$에 대하여, 위상 공간 $X$가 다음 성질을 만족시키면, $X$가 $\kappa$-콤팩트하다고 한다.

• $X$의 모든 열린 덮개는 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 덮개를 갖는다.

일반적인 콤팩트 공간의 개념은 $\aleph _{0}$-콤팩트 공간이다.

두 무한 기수 $\kappa ,\lambda$가 주어졌을 때, 무한 논리 $L_{\kappa ,\lambda }$는 $\kappa$개 미만의 항들의 논리합·논리곱과 $\lambda$개 미만의 변수들에 대한 한정 기호 ∀및 ∃를 적용할 수 있는 논리이다.

무한 기수 $\kappa$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 무한 기수를 강콤팩트 기수라고 한다.

• 임의의 개수의 $\kappa$-콤팩트 하우스도르프 공간들의 곱공간은 $\kappa$-콤팩트 하우스도르프 공간이다.
• 임의의 집합 위의 $\kappa$-완비 필터는 $\kappa$-완비 극대 필터의 부분 필터이다.^:37
• 무한 논리 $L_{\kappa ,\kappa }$는 콤팩트성 정리를 만족시킨다.^:36–37 즉, 임의의 명제들의 집합 ${\mathcal {T}}\subset L_{\kappa ,\kappa }$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • $M\models {\mathcal {T}}$인 구조 $M$이 존재한다.
  • 크기가 $\kappa$ 미만인 임의의 부분집합 ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {T}}$에 대하여, $M\models {\mathcal {S}}$인 구조 $M_{\mathcal {S}}$가 존재한다.

성질

모든 비가산 강콤팩트 기수는 가측 기수이다.^:38 (가측 기수는 정의에 따라 비가산 기수이므로, $\aleph _{0}$는 강콤팩트 기수이지만 가측 기수가 아니다.) 모든 초콤팩트 기수는 강콤팩트 기수이다.

예

선택 공리를 가정하면, 티호노프 정리에 따라서, $\aleph _{0}$은 강콤팩트 기수이다. 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 이 밖의 다른 강콤팩트 기수의 존재를 증명할 수 없다.

역사

하워드 제롬 카이슬러(독일어: Howard Jerome Keisler)와 알프레트 타르스키가 도입하였다.

참고 문헌

• Mycielski, Jan (2006년 2월). “A system of axioms of set theory for the rationalists” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 53 (2): 206–213. Zbl 1102.03050. 

외부 링크

• “Strongly compact cardinal”. 《Cantor’s Attic》 (영어). 2014년 12월 25일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 25일에 확인함.