거리
다른 뜻에 대해서는 거리 (동음이의) 문서를 참고하십시오. 간격은 여기로 연결됩니다. 언어학 용어의 격에 대해서는 간격 (언어학) 문서를 참고하십시오.거리(距離)는 어떤 사물이나 장소가 공간적으로 얼마나 멀리 떨어져 있는가를 수치로 나타낸 것이다. 물리학이나 일상적인 상황에서 거리는 물리적인 거리나 시간의 간격을 말하는 것이 보통이나 다른 기준을 따르기도 한다. 수학 용어로서의 거리는 더 엄밀하게 정의되고 사용된다.
수학 편집
기하학 편집
해석기하학에서 좌표평면위의 두 점 (x1,y1) 과(x2,y2) 사이의 거리는
이다. 마찬가지로, 3차원 공간에서 두 점 (x1,y1,z1) 과 (x2,y2,z2) 사이의 거리는
이다. 이 공식은 직각삼각형에서 빗변의 길이에 대한 피타고라스의 정리를 이용하여 유도할 수 있다.
이 가장 일반적인 거리는 유클리드 거리라고 하며, 비유클리드 기하학에서는 이 공식이 성립하지 않는다.
유클리드 공간에서의 거리 편집
유클리드 공간 Rn에서, 두 점의 거리는 유클리드 거리(2-노름 거리)로 주어진다. 다른 노름을 이용한 거리가 사용되기도 한다.
점 (x1, x2, ...,xn)과 점 (y1, y2, ...,yn)이 주어졌을 때, p차 민코프스키 거리(혹은 "p-노름 거리")는 다음과 같이 정의된다:
| 1-노름 거리 | |
| 2-노름 거리 | |
| p-노름 거리 | |
| 무한 노름 거리 | |
p는 정수가 아니어도 되며, 1보다 작을 수는 없다. 1보다 작을 경우, 삼각 부등식이 성립하지 않는다.
2-노름 거리는 유클리드 거리로, 일반적으로 두 점 사이의 거리를 자로 재었을 때의 "직관적인" 거리와 같다.
1-노름 거리는 "맨해튼 거리"나 "택시 거리"라고 불리는데, 이는 바둑판처럼 깔끔하게 정비된 도시에서를 자동차로 움직일 때의 거리와 같기 때문이다.
무한 노름 거리는 체비쇼프 거리로도 불린다.
p-노름에서 1이나 2, 무한 이외의 p 값은 자주 쓰이지는 않는다.
일반 경우 편집
수학, 특히 기하학에서 집합 M의 거리 함수 d는 실수 R에 대해 d: M×M → R처럼 주어지며, 다음 조건을 만족한다:
- d(x,y) ≥ 0 이고, d(x,y) = 0 if and only if x = y. (다른 두 점간의 거리는 양수 값을 가지며, 자기 자신까지의 거리는 0이다.)
- 대칭이다: d(x,y) = d(y,x). (x에서 y까지의 거리는 어느 방향이나 같다.)
- 삼각 부등식을 만족한다: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). (두 점 사이의 거리는 가장 짧은 경로의 길이이다).
이러한 거리 함수가 정의된 집합을 거리 공간이라고 한다.
예를 들어, 두 실수 x와 y 사이의 거리를 d(x,y) = |x − y| 로 정의했을 때, 위 세 조건을 만족한다. 하지만 거리는 정의내리기 나름이다. 만약 거리 함수를 x = y일 경우는 d(x,y) = 0, 아닐 경우는 1로 정의한다면, 이 역시 거리 함수의 조건을 만족한다.
물리학적인 거리 편집
특수 상대성 이론에 의하면 시간적인 간격과 공간적인 거리는 서로 분리할 수 없고 시공간적 거리라는 하나의 양으로서만 측정할 수 있다.
시간을 제외하고 공간만을 생각한 거리는 아래 기하학적 거리 부분에 나와 있는 식으로 계산할 수 있으며 이러한 거리는 어떤 물체가 한 곳에서 다른 곳으로 갈 때의 속도와 걸린 시간을 곱한 것(속도가 시간에 따라 달라질 경우 속도를 시간에 대해 적분한 것)과 같다.