고리군

리 군론에서 고리군(영어: loop group)은 리 군의 고리 공간이며, 위상군을 이룬다. 이에 대하여, 반단순 리 군의 경우와 마찬가지로 보렐-베유-보트 정리 등의 이론을 전개할 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 콤팩트 리 군 $G$
• 콤팩트 매끄러운 다양체 $M$

그렇다면, 매끄러운 함수의 공간

${\mathcal {C}}^{\infty }(M,G)$

위에는 점별 곱셈 및 콤팩트-열린집합 위상을 통해 위상군의 구조를 줄 수 있다. 이를 $G$의, $M$ 위의 게이지 변환 군(영어: group of gauge transformations)이라고 한다. 만약 $M=\mathbb {S} ^{1}$일 때, 이를 $G$의 고리군이라고 하며, $\mathrm {L} G$라고 표기된다.

고리군 위에는 자기 동형의 족

$\tau _{\theta }\colon \mathrm {L} G\to \mathrm {L} G$

$\tau _{\theta }\cdot \phi \colon t\mapsto \phi (t+\theta )$

이 주어지며, 이를 통해 반직접곱

$\operatorname {U} (1)\rtimes \mathrm {L} G$

를 정의할 수 있다.

양에너지 표현

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의, 원군의 표현

$\operatorname {U} (1)\to \operatorname {Aut} (V)$

이 다음과 같은 꼴이라면, 양에너지 표현(영어: positive-energy representation)이라고 한다.

$\exp(\mathrm {i} t)\mapsto \exp(\mathrm {i} tA)$

여기서 $A$는 양의 실수 스펙트럼을 갖는 (유계 또는 비유계) 작용소이다.

복소수 힐베르트 공간 $V$ 위의 연속 표현

$\rho \colon \mathrm {L} G\to \operatorname {Aut} (V)$

이 다음 조건을 만족시킨다면, 양에너지 표현(영어: positive-energy representation)이라고 한다.

• ${\tilde {\rho }}\upharpoonright \operatorname {U} (1)$가 원군의 양에너지 표현이며, ${\tilde {\rho }}\upharpoonright \mathrm {L} G=\rho$인 연속 표현 ${\tilde {\rho }}\operatorname {U} (1)\rtimes \mathrm {L} G\to \operatorname {Aut} (V)$이 존재한다.

성질

위상수학적 성질

$\mathrm {L} G$가 연결 공간일 필요 충분 조건은 $G$가 연결 단일 연결 공간인 것이다.

$G$가 연결 단일 연결 콤팩트 반단순 리 군이라고 하고, 그 카르탕 부분군이 $T\leq G$라고 하자. 그렇다면, 올다발

$G/T\hookrightarrow \mathrm {L} G/T\twoheadrightarrow \mathrm {L} G/G$

이 존재한다.

$\mathrm {L} G/T$의 2차 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

$\operatorname {H} ^{2}(\mathrm {L} G/T;\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} \oplus \operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )$

대수적 성질

아핀 리 대수는 고리군의 리 대수의 중심 확장이다.

표현론

각

$(n,\lambda )\in \mathbb {Z} \oplus \operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )$

에 대하여 $\mathrm {L} G/T$ 위의 복소수 선다발

$\mathbb {C} \hookrightarrow L_{n,lambda}\twoheadrightarrow \mathrm {L} G/T$

을 정의할 수 있다. 또한, 그 정칙 단면의 복소수 힐베르트 공간

$\operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })$

을 생각하자. 동차 공간 $\mathrm {L} G/T$ 위에는 $\mathrm {L} G$의 표준적인 왼쪽 작용이 존재하며, 이는 $\operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })$ 위의 왼쪽 작용을 유도한다. 즉, 이는 $\mathrm {L} G$의 표현을 이룬다.

또한, 만약 $\operatorname {Lie} (H)^{*}$에서 양근의 집합을 선택할 경우, 보렐-베유-보트 정리에서의 구성으로서 아벨 군의 동형

$\operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )\cong {\hat {T}}$

이 결정된다. 여기서 ${\hat {T}}$는 $T$의 폰트랴긴 쌍대군(즉, $\operatorname {U} (1)\to T$의 꼴의 군 준동형의 군)이다.

고리군에 대하여, 다음과 같은 보렐-베유-보트 정리의 일종이 성립한다.^{:163, Proposition (4.2)}

• $\operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })$는 0차원이거나 또는 $\mathrm {L} G$의 기약 양에너지 표현을 이룬다.
• 반대로, $\mathrm {L} G$의 모든 기약 양에너지 표현에 대하여, 이를 위와 같이 구성하는 $(n,\lambda )\in \mathbb {Z} \oplus \operatorname {H} ^{2}(G/T;\mathbb {Z} )$가 존재한다.
• $\operatorname {H} ^{0}(L_{n,\lambda })\neq \{0\}$일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
  • $G$의 모든 양의 쌍대근 $h\in \operatorname {Lie} (T)$에 대하여, $0\leq \lambda (h)\leq n\langle h|h\rangle$

여기서 $\langle -|-\rangle$은 $T$의 리 대수 $\operatorname {Lie} (T)$ (즉, 쌍대근의 공간) 위의 표준적인 양의 정부호 대칭 쌍선형 형식이다.

외부 링크

• “Loop group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Loop group”. 《nLab》 (영어). 
• “Quantization of loop groups”. 《nLab》 (영어). 
• “Positive energy representation”. 《nLab》 (영어).