공집합

수학에서 공집합(空集合, 영어: empty set)은 원소가 하나도 없는 집합이다. 기호는 { } 또는 $\varnothing$ (∅) 또는 $\emptyset$. $\varnothing$ 기호는 시행 결과로 어떠한 조건에서도 나올 수 없는 사건을 의미하는 공사건의 기호이기도 하다.

공집합의 기호

정의

공집합 $\varnothing$은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.

• 임의의 $x\in \varnothing$에 대하여, $x\neq x$

성질

모든 집합 $A$에 대하여,

• 공집합은 $A$의 부분집합이다.

  $\varnothing \subset A$

• 집합 $A$와 공집합의 합집합은 집합 A이다.

  $A\cup \varnothing =A$

• 집합 $A$와 공집합의 교집합은 공집합이다.

  $A\cap \varnothing =\varnothing$

• 집합 $A$와 공집합의 곱집합은 공집합이다.

  $A\times \varnothing =\varnothing$

공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.

• 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.

  $A\subset \varnothing \Longrightarrow A=\varnothing$

• 공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.

  $2^{\varnothing }=\{\varnothing \}$

• 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0이다. 공집합은 유한집합이다.

  $\mathrm {card} (\varnothing )=0$

응용

공허하게 참인 명제

공허하게 참인 명제(空虛-命題, 영어: vacuously true statement)는 공집합에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.

• $\forall x\in \varnothing \colon \phi (x)$
• $\phi \implies \psi$ (여기서 $\phi$는 거짓 명제이다.)

공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.

예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.

• 임의의 $x\in \varnothing$에 대하여, $x\neq x$
• 만약 $3<x<2$라면, $6<2x<4$이다.

공집합에 대한 합과 곱

 이 부분의 본문은 합 및 곱입니다.

편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.

$\sum _{x\in \varnothing }x=0$

$\prod _{x\in \varnothing }x=1$

예를 들어, 합

$\sum _{n=p}^{q}a_{n}$

을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

$\sum _{n=p}^{q}a_{n}={\begin{cases}0&p>q\\\displaystyle \sum _{n=p}^{q-1}a_{n}+a_{q}&p\leq q\end{cases}}$

영항 연산

 이 부분의 본문은 영항 연산입니다.

편의를 위해, 집합 $A$의 0번 곱집합 $A^{\times 0}$은 임의의 한원소 집합 $\{\bullet \}$으로 정의된다. 이 경우, 집합 $A$ 위의 영항 연산

$f\colon A^{\times 0}\to A$

는 $A$의 원소

$f(\bullet )\in A$

와 일대일 대응한다.

집합론

수, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. $0:=\varnothing ,\ 1:=\{\varnothing \},\ 2:=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\ \cdots$ 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한 공리에서 사용하는 방법이다.

역사

공집합의 기호 $\varnothing$는 프랑스의 수학자이며 니콜라 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자 $\phi$를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

외부 링크

• “Empty set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Empty set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Empty set”. 《nLab》 (영어).