국소 볼록 공간

이 글의 주제는 국소 볼록 집합이 아닙니다.

함수해석학에서 국소 볼록 공간(局所볼록空間, 영어: locally convex space)은 그 위상이 일련의 반노름들에 대한 시작 위상으로 유도되는 위상 벡터 공간이다.^{:§5, 38–49} 함수해석학에서 다루는 가장 일반적인 공간 가운데 하나이다.

정의

$K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$라고 하자. $K$-국소 볼록 공간은 특별한 종류의 $K$-위상 벡터 공간이며, 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.

볼록 집합을 통한 정의

$K$-위상 벡터 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 만약 임의의 $0\in V$의 근방 ${\tilde {B}}\ni 0$에 대하여, 다음 조건들을 모두 만족시키는 집합 $B\subseteq V$가 존재한다면, $V$를 $K$-국소 볼록 공간이라고 한다.

• 0의 근방이다.
• $0\in B\subseteq {\tilde {B}}$
• (볼록성) $\textstyle B=\{tx+(1-t)y\colon (x,y,t)\in B\times B\times [0,1]\}$
• (균형성) $\textstyle B=\bigcup _{\lambda \in K}^{|\lambda |\leq 1}\lambda B$
• (흡수성) $\textstyle V=\bigcup _{\lambda \in K}\lambda B$

반노름을 통한 정의

$K$-국소 볼록 공간 $V$는 다음 성질들을 만족시키는 $K$-위상 벡터 공간이다.

• $V$의 위상은 일련의 반노름들 $\{\nu _{i}\}_{i\in I}$로 유도된다. 즉, 다음과 같은 기저를 갖는다.

  $\left\{v+\epsilon \bigcap _{i\in {\tilde {I}}}U_{i}\colon {\tilde {I}}\subseteq I,\;|{\tilde {I}}|<\aleph _{0},\;\epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\;v\in V\right\}$

  $U_{i}=\{v\colon \nu _{i}(v)<1\}\subseteq V\qquad \forall i\in I$

국소 볼록 공간을 정의하는 데이터는 벡터 공간 구조 및 위상 공간 구조만을 포함하고, 반노름들을 포함하지 않는다. 일반적으로, 같은 국소 볼록 위상이 서로 다른 반노름들의 집합으로 유도될 수 있다.

임의의 반노름 집합 $\{\nu _{i}\}_{i\in I}$가 주어졌을 때, 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.

$\nu _{i}\lesssim \nu _{j}\iff \sup _{v\in V}^{\nu _{j}(v)\neq 0}{\frac {\nu _{i}(v)}{\nu _{j}(v)}}<\infty$

임의의 반노름 집합 $\{\nu _{i}\}_{i\in I}$에 대하여,

$\left\{\sum _{i\in {\tilde {I}}}\nu _{i}\colon {\tilde {I}}\subseteq I,\;|{\tilde {I}}|<\aleph _{0}\right\}$

는 원래 반노름 집합과 같은 위상을 정의하며, 또한 상향 원순서 집합을 이룬다. 즉, 국소 볼록 공간을 정의하는 반노름 집합이 항상 상향 원순서 집합이라고 가정할 수 있다.

성질

분리 공리

반노름 집합 $\{\nu _{i}\}_{i\in I}$로 정의되는 국소 볼록 공간 $V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 하우스도르프 공간이다.
• $\textstyle \bigcap _{i\in I}\nu _{i}^{-1}(0)=\{0\}$. 즉, 모든 반노름으로 재었을 때 0인 벡터는 영벡터이다.

연속성과 유계성

두 국소 볼록 공간 $V$, $W$이 각각 반노름 상향 원순서 집합 $\{\mu _{i}\}_{i\in I}$, $\{\nu _{j}\}_{j\in J}$로 정의된다고 하자. 임의의 선형 변환 $T\colon V\to W$ 및 $j\in J$에 대하여, $\nu _{j}\circ T$는 $V$ 위의 반노름이다.

그렇다면, 임의의 선형 변환 $T\colon V\to W$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 연속 함수이다.
• (유계성) 임의의 $j\in J$에 대하여, $\nu _{j}\circ T\lesssim \mu _{i}$인 $i\in I$가 존재한다. 즉, 다음이 성립해야 한다.

  $\sup _{v\in V}^{\mu _{j}(v)\neq 0}(\nu (Tv)_{j}/\mu _{i}(v))<\infty$

이는 노름 공간에서 연속성이 유계성으로 나타내어지는 것의 일반화이다.

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 위상 벡터 공간들은 국소 볼록 공간이다. 프레셰 공간은 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간이다. 바나흐 공간과 힐베르트 공간은 프레셰 공간의 특수한 경우이므로 역시 국소 볼록 공간이다.

임의의 벡터 공간 $V$ 및 임의의 실수 선형 변환들의 집합 $F=\{f_{\alpha }\colon V\to \mathbb {R} \}$에 대한 시작 위상은 국소 볼록 공간이다. 이 경우 반노름들은 $|f_{\alpha }|$가 된다.

국소 볼록 공간이 아닌 위상 벡터 공간의 예

구간 $[0,1]$ 위의 르베그 공간 $L^{p}[0,1]$은 $0<p<1$에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다. (원점의 유일한 볼록 근방은 공간 전체이다.) 마찬가지로, 수열 공간 $\ell ^{p}$ 역시 $0<p<1$에 대하여 국소 볼록 공간이 아니다.

역사

존 폰 노이만이 1934년에 "볼록 선형 집합"(영어: convex linear set)이라는 이름으로 도입하였다.^{:4, Definition 2b}

참고 문헌

• Dieudonné, Jean A. (1953). “Recent developments in the theory of locally convex vector spaces”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 59: 495–512. doi:10.1090/S0002-9904-1953-09752-X. ISSN 0273-0979. MR 0062334. Zbl 0053.25701. 

외부 링크

• “Locally convex space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Locally convex topology”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally convex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Locally convex space”. 《nLab》 (영어).