균형 집합

선형대수학 및 함수해석학에서, 균형 집합(均衡集合, 영어: balanced set) 또는 원형 집합(圓形集合, 영어: circular set) 또는 원판(영어: disk 디스크^[*])은 스스로의 임의의 “축소판”을 포함하는, 실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 부분 집합이다.

정의

$K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자. $K$-벡터 공간 $V$의 부분 집합 $B\subseteq V$가 다음 조건을 만족시키면, 균형 집합이라고 한다.

• 임의의 스칼라 $a\in K$에 대하여, 만약 $|a|\leq 1$이라면 $aB\subseteq B$

여기서

$aB=\{ab\colon b\in B\}$

이다.

균형 폐포와 균형핵

$K$-벡터 공간 $V$의 임의의 부분 집합 $S\subseteq V$가 주어졌을 때, $S$를 포함하는 가장 작은 균형 집합이 존재하며, 이를 $S$의 균형 폐포(영어: balanced hull)라고 한다. 이는 $S$를 포함하는 모든 균형 집합의 교집합으로 만들 수 있다. 더 구체적으로, $S$의 균형 폐포는

$\bigcup _{a\in K}^{|a|\leq 1}aS$

이다.

마찬가지로, $K$-벡터 공간 $V$의 임의의 부분 집합 $S\subseteq V$가 주어졌을 때, $S$에 포함되는 가장 큰 균형 집합이 존재하며, 이를 $S$의 균형핵(영어: balanced core)이라고 한다. 이는 $S$에 포함되는 모든 균형 집합의 합집합이며, 또한 다음과 같다.

${\begin{cases}\varnothing &0\not \in S\\\bigcap _{a\in K}^{|a|\geq 1}aS&0\in S\end{cases}}$

성질

균형 집합은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

• 균형 집합들의 합집합과 교집합은 균형 집합이다.
• 균형 집합의 폐포는 균형 집합이다.
• 균형 집합의 내부와 $\{0\}$의 합집합은 균형 집합이다.
• 균형 집합의 선형 변환에 대한 상·원상은 균형 집합이다.

어떤 집합이 볼록하고 균형이면 그 집합은 절대 볼록 집합이다.

$K$-위상 벡터 공간에서, 0의 모든 근방은 균형 근방을 포함하며, 0의 모든 볼록 근방은 균형 볼록 근방을 포함한다. 즉, 임의의 $K$-위상 벡터 공간의 영벡터는 균형 집합들로 구성된 국소 기저를 가지며, 임의의 $K$-국소 볼록 공간의 영벡터는 균형 볼록 집합들로 구성된 국소 기저를 갖는다.

증명:

$K$-위상 벡터 공간 $V$ 및 근방 $N\ni 0$이 주어졌다고 하자. 위상 벡터 공간의 정의에 따라, 스칼라배

$K\times V\to V$

$(a,v)\mapsto av$

는 연속 함수이며, 특히 $(0,0)$에서 연속이다. 따라서

$\forall a\in K\colon |a|<\delta \implies aU\subseteq N$

인 $\delta >0$ 및 근방 $U\ni 0$이 존재한다. 이 경우,

$N'=\bigcup _{a\in K}^{|a|<\delta }aU\subseteq N$

은 0의 근방이며, 균형 집합이다.

이제, $N$이 볼록 집합이라고 추가로 가정하자. 임의의 $a\in K$, $|a|=1$에 대하여, $N'$이 균형 집합이므로

$N'=aN'\subseteq aN$

이다. 따라서

$N''=\bigcap _{a\in K}^{|a|=1}aN\subseteq N$

은 0의 근방이다. $N''$은 볼록 집합 $aN$들의 교집합이므로 볼록 집합이다. 이제 $N''$의 균형성을 보이는 일만 남았다. 사실, 임의의 $b\in K$, $|b|\leq 1$에 대하여,

$bN''=\bigcap _{a\in K}^{|a|=1}baN=\bigcap _{a\in K}^{|a|=1}|b|aN\subseteq \bigcap _{a\in K}^{|a|=1}aN=N''$

이다 ($\subseteq$은 $aN$이 0을 원소로 하는 볼록 집합이므로, $|b|aN\subseteq aN$이기 때문이다).

예

반노름 공간 $(V,\nu )$에서, 0을 중심으로 하는 열린 공·닫힌 공

$\{v\in V\colon \nu (v)<c\}$

$\{v\in V\colon \nu (v)\leq c\}$

은 균형 집합이다 ($c>0$).

실수 벡터 공간 또는 복소수 벡터 공간의 모든 부분 공간은 균형 집합이다.

$K$-벡터 공간 $V_{i\in I}$ ($i\in I$)들의 균형 집합 $B_{i}\subseteq V_{i}$들의 곱집합 $\prod _{i\in I}B_{i}$은 벡터 공간들의 직접곱 $\prod _{i\in I}V_{i}$에서 균형 집합이다.

복소수체 $\mathbb {C}$를 1차원 복소수 벡터 공간으로 생각하자. 그 균형 집합은 정확히 다음과 같다.

• $\mathbb {C}$ 자체
• 공집합
• 0을 중심으로 하는 열린 원판 $\{a\in \mathbb {C} \colon |a|<r\}$
• 0을 중심으로 하는 닫힌 원판 $\{a\in \mathbb {C} \colon |a|\leq r\}$

이와 달리, $\mathbb {C}$를 2차원 실수 벡터 공간(즉, 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{2}$)으로 여기면 더 많은 균형 집합이 존재하게 된다. 위의 집합들뿐 아니라, 원점을 중심으로 하는 모든 열린/닫힌 선분도 균형 집합을 이룬다. 따라서, $\mathbb {C}$와 $\mathbb {R} ^{2}$의 벡터 공간 구조는 전적으로 다르다.^{:6, 1.4, Example}

같이 보기

• 별모양 집합

참고 문헌

• Robertson, A.P.; W.J. Robertson (1964). 《Topological vector spaces》. Cambridge Tracts in Mathematics 53. Cambridge University Press. 4쪽. 
• H.H. Schaefer (1970). 《Topological Vector Spaces》. GTM 3. Springer-Verlag. 11쪽. ISBN 0-387-05380-8.