영역 위의 왼쪽 가군
M
{\displaystyle M}
왼쪽 가군 을 왼쪽 나눗셈 가군 (-加群, 영어 : divisible module )이라고 한다.[1] :70, Definition (3.16)
임의의
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
ann
R
(
{
r
}
)
=
{
s
∈
R
:
s
r
=
0
}
⊆
ann
R
(
{
m
}
)
=
{
s
∈
R
:
s
m
=
0
}
{\displaystyle \operatorname {ann} _{R}(\{r\})=\{s\in R\colon sr=0\}\subseteq \operatorname {ann} _{R}(\{m\})=\{s\in R\colon sm=0\}}
r
m
~
=
m
{\displaystyle r{\tilde {m}}=m}
m
~
∈
M
{\displaystyle {\tilde {m}}\in M}
m
~
{\displaystyle {\tilde {m}}}
모든 왼쪽 주 아이디얼
R
r
{\displaystyle Rr}
R
{\displaystyle R}
가군 준동형
f
:
R
r
→
M
{\displaystyle f\colon Rr\to M}
f
~
|
R
r
=
f
{\displaystyle {\tilde {f}}|_{Rr}=f}
R
{\displaystyle R}
가군 준동형
f
:
R
→
M
{\displaystyle f\colon R\to M}
0
→
R
r
→
R
↓
↙
∃
M
{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &Rr&\to &R\\&&\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists \\&&M\\\end{matrix}}}
둘째 조건은 단사 가군 의 베어 조건을 임의의 왼쪽 아이디얼 에서 왼쪽 주 아이디얼 로 약화시킨 것이다. 첫째 조건에 따라, 왼쪽 나눗셈 가군에서 만약
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
ann
R
(
{
r
}
)
⊆
ann
R
(
{
m
}
)
{\displaystyle \operatorname {ann} _{R}(\{r\})\subseteq \operatorname {ann} _{R}(\{m\})}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
오른쪽 영인자 가 아니라면),
m
{\displaystyle m}
r
{\displaystyle r}
r
−
1
m
∈
M
/
ker
M
(
r
⋅
)
{\displaystyle r^{-1}m\in M/\ker _{M}(r\cdot )}
을 정의할 수 있다.
(영역 이 아닌 환의 경우 일부 문헌에서는 다른 정의를 사용한다.)
아벨 군 의 개념은 정수환 위의 가군 의 개념과 동치 이다. 정수환 위의 가군에 대하여 단사 가군 의 개념과 나눗셈 가군의 개념이 일치하며, 이를 나눗셈군 이라고 한다. 이는 아벨 군 의 아벨 범주에서의 단사 대상 과 같다. 즉, 만약 나눗셈군
G
⊂
H
{\displaystyle G\subset H}
H
{\displaystyle H}
H
=
G
⊕
H
′
{\displaystyle H=G\oplus H'}
H
′
{\displaystyle H'}
영역 (영인자 가 없는 환) 위의 왼쪽 가군에 대하여 다음 조건들이 서로 동치 이다.
임의의
r
∈
R
∖
{
0
}
{\displaystyle r\in R\setminus \{0\}}
r
M
=
M
{\displaystyle rM=M}
m
∈
M
{\displaystyle m\in M}
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
r
m
~
=
m
{\displaystyle r{\tilde {m}}=m}
m
~
∈
M
{\displaystyle {\tilde {m}}\in M}
m
~
{\displaystyle {\tilde {m}}}
나눗셈 가군이다. 영역 위의 나눗셈 가군은 다음 연산에 대하여 닫혀 있다.[1] :71
(임의의 부분 가군에 대한) 몫가군
(무한 또는 유한) 직접곱
(무한 또는 유한) 직합 그러나 나눗셈 가군은 부분 가군 에 대하여 닫혀 있지 않다. 예를 들어,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Z
⊂
Q
{\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} }
모든 단사 가군 은 나눗셈 가군이다. 영역
R
{\displaystyle R}
왼쪽 아이디얼 이 주 아이디얼 이라면, 나눗셈 가군의 개념은 단사 가군 의 개념과 일치한다.[1] :71, Corollary (3.17)′
가환환
R
{\displaystyle R}
극대 아이디얼
m
⊊
R
{\displaystyle {\mathfrak {m}}\subsetneq R}
동치 이다.[1] :96, Theorem 3.72
체
R
/
m
{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}
R
{\displaystyle R}
단사 가군 이다.체
R
/
m
{\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}
R
{\displaystyle R}
국소화
R
m
{\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}
체 이다.(가환) 정역
R
{\displaystyle R}
동치 이다.[1] :73, Corollary (3.24)
정역
R
{\displaystyle R}
가군
M
{\displaystyle M}
r
∈
R
∖
{
r
}
{\displaystyle r\in R\setminus \{r\}}
m
∈
M
∖
{
0
}
{\displaystyle m\in M\setminus \{0\}}
r
m
≠
0
{\displaystyle rm\neq 0}
동치 이다.[1] :73, Proposition 3.25
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
모든 나눗셈군
D
{\displaystyle D}
D
=
Q
⊕
κ
0
⊕
⨁
p
Z
[
p
∞
]
⊕
κ
p
{\displaystyle D=\mathbb {Q} ^{\oplus \kappa _{0}}\oplus \bigoplus _{p}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{\oplus \kappa _{p}}}
여기서
⨁
p
{\displaystyle \textstyle \bigoplus _{p}}
소수 에 대한 직합 이며,
κ
0
{\displaystyle \kappa _{0}}
κ
p
{\displaystyle \kappa _{p}}
기수 이며,
Z
(
p
∞
)
{\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}
프뤼퍼 군 (영어 : Prüfer group )
Z
(
p
∞
)
=
{
exp
(
2
π
i
m
/
p
n
)
:
m
,
n
∈
Z
+
}
{\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\colon m,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}
이다.
특히, 꼬임 부분군 이 자명군 인 나눗셈군은 유리수 위의 벡터 공간 밖에 없다.
이 분류는 뇌터 가환환 위의 단사 가군 의 분류의 특수한 경우이다.
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle D=\mathbb {Q} ^{\oplus \kappa _{0}}\oplus \bigoplus _{p}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{\oplus \kappa _{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea6577f83c891b69dc6cc678b5d4a6e085e6288)
![{\displaystyle V\cong \mathbb {Q} ^{[K:\mathbb {Q} ]\dim _{K}V}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58094cc8d292707eaa080b10187f7a3771ca56e0)
![{\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73f278623b66f0d6bdde5d01dbc8391b4d82e4de)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
![{\displaystyle \mathbb {Q} (x)/\mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dda89b771d96a754ee18b9c099275ee740ed96a)