내접 사각형

기하학에서 내접 사각형(內接四角形, 영어: cyclic quadrilateral)은 네 꼭짓점이 한 원 위의 점인 사각형이다. 즉, 이는 어떤 원에 내접하는 사각형이며, 다시 말해 이는 외접원을 갖는 사각형이다.

정의 편집

(볼록) 사각형 $ABCD$ 의 네 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 가 공원점이라면, 이 사각형 $ABCD$ 를 내접 사각형이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 $ABCD$ 의 외접원이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 $ABCD$ 의 외심이라고 한다.

성질 편집

각 편집

내접 사각형은 두 대각의 합이 180도인 사각형과 동치이다. 다시 말해, 내접 사각형의 외각은 내대각과 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 즉, 사각형 $ABCD$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

사각형 $ABCD$ 는 내접 사각형이다.
$A+C=180^{\circ }$
$B+D=180^{\circ }$

증명:

만약 사각형 $ABCD$ 는 내접 사각형이라면, 꼭짓점 $A$ 와 $C$ 에서의 내각은 각각 $B$ 와 $D$ 를 끝점으로 하는 합이 외접원의 두 켤레호에 대한 원주각이므로 합은 180도이다. 만약 $A+C=180^{\circ }$ 라면, 또한 $A$ 와 $C$ 는 직선 $BD$ 의 서로 반대쪽에 위치하므로, $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 는 공원점이며, 사각형 $ABCD$ 는 내접 사각형이다.

사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.^[1]^{:35, §4.1}

증명:

사각형 $ABCD$ 의 $A$ 와 $B$ , $B$ 와 $C$ , $C$ 와 $D$ , $D$ 와 $A$ 에서의 내각의 이등분선이 각각 점 $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ 에서 만난다고 하자. 그렇다면

P=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}A-{\frac {1}{2}}B

R=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}C-{\frac {1}{2}}D

이므로

P+R=360^{\circ }-{\frac {1}{2}}(A+B+C+D)=180^{\circ }

이다.

대각선 편집

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형은 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같은 사각형과 동치이다. 즉, 사각형 $ABCD$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

사각형 $ABCD$ 는 내접 사각형이다.
$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

넓이 편집

브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ 라고 하고, 반둘레를 $s$ 라고 할 경우, 이 내접 사각형의 넓이는

S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

이다.^[2]^{:57, §3.2, Theorem 3.22} 만약 $d=0$ 이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 $a$ , $b$ , $c$ 인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식

S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}

가 된다.^[2]^{:57, §3.2}

반중심 편집

내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, 영어: anticenter)이라고 한다.^[1]^{:36, §4.2} 내접 사각형의 반중심은 무게 중심에 대한 외심의 반사상이다.

증명:

내접 사각형 $ABCD$ 의 각 변 $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ 의 중점을 $P$ , $Q$ , $R$ , $S$ 라고 하고, 무게 중심 $G$ 에 대한 외심 $O$ 의 반사상을 $T$ 라고 하자. 그렇다면 $G$ 는 선분 $OT$ 와 $PR$ 의 공통 중점이므로, 삼각형 $PTG$ 와 $ROG$ 는 서로 $G$ 에 대한 반사상이며, 특히 $PT$ 와 $OR$ 는 평행한다. $OR$ 는 선분 $CD$ 의 수직 이등분선이므로, $PT$ 역시 $CD$ 의 수선이다.

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다.^[1]^{:39, §4.2} 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 즉, 만약 내접 사각형의 두 대각선이 직교한다면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다.

증명:

내접 사각형 $ABCD$ 의 대각선 $AC$ , $BD$ 의 교점을 $P$ 라고 하고, 선분 $AC$ 의 중점을 $M$ , $BD$ 의 중점을 $N$ 이라고 하자. 그렇다면 $G$ 는 선분 $MN$ 의 중점이다. 또한 이는 외심 $O$ 와 반중심 $T$ 를 잇는 선분 $OT$ 의 중점이므로, 삼각형 $MTG$ 와 $NOG$ 는 서로 $G$ 에 대한 반사상이며, 특히 $MT$ 와 $ON$ 은 평행한다. $ON$ 은 선분 $BD$ 의 수직 이등분선이며, 특히 이는 삼각형 $PMN$ 의 변 $PN$ 의 수선이다. 따라서 $MT$ 역시 $PN$ 의 수선이다. 마찬가지로 $NT$ 는 $PM$ 의 수선이다. 즉, $T$ 는 삼각형 $PMN$ 의 수심이다.

각주 편집

↑ ^가 ^나 ^다 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.
↑ ^가 ^나 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.

외부 링크 편집

Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic quadrilateral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Anticenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[Honsberger-1] 가 ^나 ^다 Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5.

[Coxeter-2] 가 ^나 Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0.

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