단순환

환론에서 단순환(單純環, 영어: simple ring)은 비자명 아이디얼을 갖지 않는 비자명 환이다. 군론에서의 단순군(정규 부분군을 갖지 않는 군)에 대응되는 개념이다.

정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$가 다음 두 성질을 만족시킨다면, $R$를 단순환이라고 한다.

• $R\neq \{0\}$이다. 즉, 자명환이 아니다.
• $R$의 모든 (양쪽) 아이디얼 ${\mathfrak {a}}\subset R$에 대하여, ${\mathfrak {a}}=\{0\}$이거나 ${\mathfrak {a}}=R$이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다.

단순환 $A$의 중심 $\operatorname {Z} (A)$은 항상 체이다. (이는 임의의 $a\in A$에 대하여, $a\neq 0$이라면 주 아이디얼 $(a)=A$이므로 $a$가 가역원이기 때문이다.) 체 $K$ 위의 단위 결합 대수 $A$ 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 $K$ 위의 중심 단순 대수(中心單純代數, 영어: central simple algebra)라고 한다.

• $A$는 단순환이다.
• $\dim _{K}A$는 유한하다. 즉, $K$ 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
• $\operatorname {Z} (A)=K$이다. 즉, 중심이 정확하게 $K$이다.

즉, 모든 아르틴 단순환은 스스로의 중심 위의 중심 단순 대수를 이룬다.

성질

극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 특히, 모든 체나 나눗셈환은 단순환이다.

어떤 환 $R$에 대한 행렬환 $\operatorname {Mat} (n;R)$의 아이디얼은 $R$의 아이디얼과 일대일 대응하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다.

스콜렘-뇌터 정리

체 $K$ 위의 단순 대수 $A$와 중심 단순 대수 $B$가 주어졌다고 하자. 스콜렘-뇌터 정리(영어: Skolem–Noether theorem)에 따르면, 임의의 두 $K$-단위 결합 대수 준동형

$f,g\colon A\to B$

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역원 $b\in \operatorname {Unit} (B)$이 존재한다.

$g(a)=bf(a)b^{-1}\qquad \forall a\in A$

특히, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형 $a\mapsto bab^{-1}$이다.

분류

단순환에 대하여 왼쪽 아르틴 환 및 오른쪽 아르틴 환 조건이 서로 동치이다. 아르틴-웨더번 정리(영어: Artin–Wedderburn theorem)에 따르면, 왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환 $R$는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.^{:154, Theorem 5.3}

$R\cong \operatorname {Mat} (n;D)$

여기서 $D$는 나눗셈환이며, $\operatorname {Mat} (n,D)$는 환 $D$에 대한 $n\times n$ 행렬환이다. 또한, 이러한 표현은 유일하다. 즉, $D$와 $n$은 유일하게 결정된다. 구체적으로, $R$가 왼쪽 아르틴 환이라고 하자. $R$는 단순환이므로 충실한 단순 왼쪽 가군 $_{R}M$을 갖는다. 슈어 보조정리에 의하여 $D=\operatorname {End} (_{R}M)$은 나눗셈환이며, 왼쪽 아르틴 환 조건에 의하여 $_{D}M$는 항상 유한 차원 자유 가군이며, 제이컵슨 조밀성 정리에 의하여 $R\cong \operatorname {End} (_{D}M)$이다. 즉, $n=\dim _{D}M$으로 놓으면, $R\cong \operatorname {Mat} (n;D)$이며, 또한 $_{R}R\cong {}_{R}M^{\oplus n}$이다.

만약 $R$가 오른쪽 아르틴 환인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다.

따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 나눗셈환의 분류로 귀결된다. 이는 체 $K$의 브라우어 군으로 결정된다.

예

모든 체와 모든 나눗셈환은 단순환이다.

바일 대수 $K\langle x,p\rangle /(xp-px-1)$는 단순환이다. 그러나 이는 왼쪽 아르틴 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니며, 따라서 아르틴-웨더번 정리에 해당하지 않는다.

자명환은 정의에 따라 단순환이 아니다.

역사

1927년에 토랄프 스콜렘은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며, 1933년에 에미 뇌터가 독자적으로 재발견하였다.^{:189, §5}

참고 문헌

• Henderson, D. W. (1965). “A short proof of Wedderburn’s theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 72 (4): 385-386. doi:10.2307/2313499. JSTOR 2313499. 
• Nicholson, W. Keith (1993). “A short proof of the Wedderburn-Artin theorem” (PDF). 《New Zealand Journal of Mathematics》 (영어) 22: 83–86. 2014년 8월 12일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 8월 9일에 확인함. 

외부 링크

• “Simple ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Brauer group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Simple ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Brauer group”. 《nLab》 (영어).