단체 (수학)

수학에서 단체(單體, 영어: simplex 심플렉스^[*])는 삼각형과 사면체의 임의의 차원에 대한 일반화이다. $n$차원 단체는 $n+1$개의 꼭짓점을 갖는데, 초입방체 벌집처럼 자기쌍대이다. 그리고 정삼각형과 정사면체를 제외한 단체는 이포각의 크기가 72°보다 크다.

순서대로 나타내면 다음과 같다. 소괄호 안에 있는 것은 이포각이다. 꼭짓점의 개수와 면의 개수는 같기 때문에 표기하지 않았다.

• 2차원: 정삼각형 {3}(60°)
• 3차원: 정사면체 {3, 3}(70.52881......°)
• 4차원: 정오포체 {3, 3, 3}(75.5124......°)

정의

$n$차원 단체는 다음 조건을 만족시키는 임의의 $n$차원 폴리토프이다.

• $n+1$개의 꼭짓점(0차원 면)을 갖는다.
• 임의의 꼭짓점의 집합 $I$에 대하여, 이들은 어떤 유일한 $|I|-1$차원 면에 공통적으로 속한다. (즉, 이 역시 단체를 이루게 된다.)

$n$차원 표준 단체(영어: $n$-dimensional standard simplex)는 $n+1$차원 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n+1}$의 다음과 같은 부분 집합이다.

$\triangle ^{n}=\{(t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{n})\in [0,1]^{n+1}\colon t_{0}+t_{1}+\dotsb +t_{n}=1\}$

예

낮은 차원의 단체는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

차원	단체의 이름
0	점 (한원소 공간)
1	닫힌 선분 (폐구간)
2	삼각형
3	사면체

외부 링크

• “Simplex”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Simplex”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Simplex”. 《nLab》 (영어).