달랑베르 연산자

달랑베르 연산자(d’Alembert演算子, d’Alembertian operator)는 민코프스키 공간에서의 라플라스 연산자다. 특수 상대성 이론과 전자기학에서 쓰인다. 기호는 $\square$ 또는 $\partial ^{2}$. 장 르 롱 달랑베르가 도입하였다.

정의

민코프스키 공간 $(t,x,y,z)$에서, 달랑베르 연산자는 다음과 같다.

${\begin{aligned}\Box &=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=g_{\mu \nu }\partial ^{\nu }\partial ^{\mu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta \end{aligned}}$

사용

클라인-고든 방정식은 다음과 같다.

$(\Box +\mu ^{2})\psi =0$

진공의 전자기장에서의 파동방정식은 다음과 같다.

$\Box A^{\mu }=0$

여기서 $A^{\mu }$는 민코프스키 공간에서의 전자기 퍼텐셜이다.