대수적으로 닫힌 체

추상대수학에서 대수적으로 닫힌 체(代數的으로 닫힌 體, 영어: algebraically closed field)는 모든 다항식을 1차 다항식으로 인수 분해할 수 있는 체이다.

정의

체 $K$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체를 대수적으로 닫힌 체라고 한다.

• 다항식환 $K[t]$의 임의의 원소 $p(t)\in K[t]$에 대하여, $p(t_{0})=0$인 $t_{0}\in K$가 항상 적어도 하나가 존재한다.
• $K[x]$의 기약 다항식이 모두 일차식이다.
• $K$의 대수적 확대가 $K$ 자신밖에 존재하지 않는다.
• 임의의 $K^{n}$에 대해, $K^{n}\to K^{n}$인 선형 변환은 항상 어떠한 고윳값을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 특성다항식이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 $K$의 대수적 폐포(代數的閉包, 영어: algebraic closure) ${\bar {K}}$는 $K$를 포함하는, 대수적으로 닫힌 대수적 확대 ${\bar {K}}/K$이다. 주어진 체 $K$의 대수적 폐포들은 모두 서로 동형이지만, 이러한 동형은 표준적(영어: canonical)이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 함자를 이루지 않는다.

분류

두 대수적으로 닫힌 체 $K$와 $K'$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $K$와 $K'$은 체로서 서로 동형이다.
• $K$와 $K'$은 같은 표수를 가지며, 또한 같은 절대 초월 차수(대수 독립 집합의 최대 크기)를 갖는다.

따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 $p$와 초월 차수 $\kappa$로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은

${\overline {\mathbb {F} _{p}(\{x_{i}\}_{i\in I})}}$

또는

${\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in I})}}$

의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 복소수체는 초월 차수가 $2^{\aleph _{0}}$인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,

$\mathbb {C} \cong {\overline {\mathbb {Q} (\{x_{i}\}_{i\in 2^{\aleph _{0}}})}}$

이다.

성질

절대 초월 차수가 기수 $\kappa$인 대수적으로 닫힌 체 $K$의 집합의 크기는 다음과 같다.

$|K|=\max\{\kappa ,\aleph _{0}\}$

즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 $\kappa >\aleph _{0}$이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

예

표수 0

• 복소수체는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 대수학의 기본 정리로 알려져 있다.
• 실수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 $x$에 대한 다항방정식 $x^{2}+1=0$은 실수근을 갖지 않는다. 실수체의 대수적 폐포는 복소수체다. (대수학의 기본 정리)
• 유리수체는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 대수적 수의 체이다.

양의 표수

모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$인 경우, 다항식 $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots (x-a_{n})+1$은 해를 갖지 않는다. 소수 $p$의 크기를 가진 유한체 $\mathbb {F} _{p}$의 대수적 폐포 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$는 귀납적 극한

${\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbb {F} _{p^{n}}$

이다. 즉, 만약 체의 확대

$\mathbb {F} _{p^{n}}\hookrightarrow \mathbb {F} _{p^{kn}}$

을 집합론적 부분집합으로 간주하여

$\mathbb {F} _{p^{n}}\subset \mathbb {F} _{p^{kn}}$

로 쓴다면,

${\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\mathbb {F} _{p^{n}}$

이다.

참고 문헌

• Lang, Serge (2004). 《Algebra》 (영어). Springer. ISBN 0-387-95385-X. 
• van der Waerden, B. L. (1991). 《Algebra I》 (영어). Springer. ISBN 0-387-97424-5. 

외부 링크

• “Algebraically closed field”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Algebraic closure”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraically closed”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic closure”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “To what extent can fields be classified?” (영어). Math Overflow. 
• “Algebraically closed field”. 《nLab》 (영어). 

같이 보기

• 분해 가능 폐포