대수기하학 에서 대수적 벡터 다발 (代數的vector다발, 영어 : algebraic vector bundle )이란 전이 함수가 다항함수 인 벡터 다발 의 개념이다. 이는 다양체 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다.
대수적 벡터 다발 의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 스킴 사상 으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 가군층 으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치 이다.
1차원 대수적 벡터 다발은 대수적 선다발 (영어 : algebraic line bundle )이라고 한다.
스킴을 통한 정의
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다음이 주어졌다고 하자.
스킴
X
{\displaystyle X}
자연수
n
{\displaystyle n}
만약 다음 조건들이 성립한다면,
π
{\displaystyle \pi }
n
{\displaystyle n}
대수적 벡터 다발 이라고 한다.
스킴
E
{\displaystyle E}
전사 함수 인 스킴 사상
π
:
E
→
X
{\displaystyle \pi \colon E\to X}
X
{\displaystyle X}
열린 덮개
U
=
{
U
i
}
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}
각
i
∈
I
{\displaystyle i\in I}
π
−
1
(
U
i
)
→
A
U
i
n
=
A
Z
n
×
U
i
{\displaystyle \pi ^{-1}(U_{i})\to \mathbb {A} _{U_{i}}^{n}=\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}\times U_{i}}
이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.
임의의
i
,
j
∈
I
{\displaystyle i,j\in I}
열린 부분 스킴
Spec
R
↪
U
i
∩
U
j
{\displaystyle \operatorname {Spec} R\hookrightarrow U_{i}\cap U_{j}}
R
[
x
1
,
…
,
x
n
]
→
R
[
y
1
,
…
,
y
n
]
{\displaystyle R[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\to R[y_{1},\dotsc ,y_{n}]}
정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
,
n
;
R
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n,n;R)}
r
↦
r
∀
r
∈
R
{\displaystyle r\mapsto r\;\forall r\in R}
x
i
↦
∑
i
=
1
n
x
i
M
i
j
{\displaystyle x_{i}\mapsto \textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}M_{ij}}
동형 사상 이어야 한다. 즉,
M
{\displaystyle M}
가역 행렬 이다. 같은 스킴
X
{\displaystyle X}
(
E
,
π
,
U
)
{\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}})}
(
E
′
,
π
′
,
U
′
)
{\displaystyle (E',\pi ',{\mathcal {U}}')}
동형 사상 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
X
{\displaystyle X}
ι
:
E
/
X
→
E
′
/
X
{\displaystyle \iota \colon E/X\to E'/X}
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(
E
,
π
,
U
∩
U
′
)
{\displaystyle (E,\pi ,{\mathcal {U}}\cap {\mathcal {U}}')}
층 이론을 통한 정의
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환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
국소 자유 가군층 은
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가군층
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
임의의
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
E
↾
U
i
≅
(
O
X
↾
U
)
⊕
n
{\displaystyle {\mathcal {E}}\upharpoonright U_{i}\cong ({\mathcal {O}}_{X}\upharpoonright U)^{\oplus n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
열린 근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
환 달린 공간
(
X
,
O
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}
n
{\displaystyle n}
대수적 벡터 다발 (또는 유한 계수 국소 자유층 )은
O
X
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}
가군층
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
어떤 열린 덮개
(
U
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}
∀
i
∈
I
:
E
↾
U
i
≅
(
O
X
⊕
⋯
⊕
O
X
⏟
n
)
↾
U
i
{\displaystyle \forall i\in I\colon {\mathcal {E}}\upharpoonright U_{i}\cong (\underbrace {{\mathcal {O}}_{X}\oplus \dotsb \oplus {\mathcal {O}}_{X}} _{n})\upharpoonright U_{i}}
즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.
두 정의 사이의 관계
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층 이론을 통한 정의는 임의의 환 달린 공간 에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 환 달린 공간 의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.[1] :128–129, Exercise Ⅱ.5.18
π
:
E
→
X
{\displaystyle \pi \colon E\to X}
가군층 을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle R[x_{1},\dotsc ,x_{n}]\to R[y_{1},\dotsc ,y_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2352ebb350050951d0a4a27131a275e6bd5277e2)
