더시터르 공간

일반 상대성 이론과 미분기하학에서 더시터르 공간(de Sitter空間, 영어: de Sitter space)은 로런츠 다양체의 하나다. 양의 우주 상수를 가지는 아인슈타인 방정식의 진공 해이며, 암흑 에너지밖에 없는 진공을 나타낸다. n차원 더시터르 공간의 기호는 dS_n.

우리가 살고 있는 우주는 현재 대부분(69%) 암흑 에너지로 차 있다 (ΛCDM 모형). 따라서, 우리 우주는 더시터르 공간으로 근사할 수 있다.

최근에는, 본래 특수 상대성 이론의 골자로서 민코프스키 공간이 이용된 것을, 이 더시터르 공간을 새로이 이용해서 더시터르 상대성이라는 형식을 세우는 것이 일각에서 고려되고 있다.

역사

1917년에 빌럼 더시터르와 툴리오 레비치비타 가 독자적으로 발견하였다.

정의

n차원 더시터르 공간은 n+1차원 민코프스키 공간의 부분공간으로 정의할 수 있다. n+1차원 민코프스키 공간 $\mathbb {R} ^{1,n}$의 다음과 같은 직교좌표계를 생각하자.

$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.$

더시터르 공간은 다음 식을 만족하는 쌍곡면으로 표현되는 부분다양체이다.

$-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2}$

여기서 $\alpha$는 길이의 차원을 가지는 양의 상수이며, 더시터르 반지름(영어: de Sitter radius)이라고 한다. 더시터르 공간의 계량 텐서는 고차원 민코프스키 공간에서 유도되는 계량 텐서(induced metric)이며, 이 계량이 로런츠 계량 부호수를 가지고 있다는 사실을 보일 수 있다. (만약 위의 정의에서 $\alpha ^{2}$ 을 $-\alpha ^{2}$으로 대치하면 두 장의 쌍곡면을 얻는다. 이 경우 유도 계량은 양의 정부호이며, 각각의 쌍곡면들은 n차원 쌍곡면 공간을 이룬다.)

성질

기하학적 성질

더시터르 공간은 동차공간

$\operatorname {dS} _{n}=O(1,n)/O(1,n-1)$

으로 나타낼 수 있다. 여기서 O(p,q)는 임의의 계량 부호수에 대한 직교군이다.

더시터르 공간의 등거리변환군은 O(1,n) 로런츠 군이다. 그러므로 계랑은 n(n+1)/2 개의 독립적인 킬링 벡터를 가지며, 최대대칭공간(영어: maximally symmetric space)이다. 모든 최대 대칭 공간은 일정한 곡률을 갖는다. 더시터르 공간의 리만 곡률 텐서는 다음과 같다.

$R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu })$

리치 곡률이 계량에 비례하므로, 더시터르 공간은 아인슈타인 다양체이다.

$R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}g_{\mu \nu }$

따라서, 더시터르 공간은 다음과 같은 우주 상수 $\Lambda$를 갖는, 아인슈타인 방정식의 진공해이다.

$\Lambda ={\frac {(n-1)(n-2)}{2\alpha ^{2}}}.$

더시터르 공간의 스칼라 곡률은 다음과 같다.

$R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .$

4차원 더시터르 공간의 경우 $\Lambda =3/\alpha ^{2}$, $R=4\Lambda =12/\alpha ^{2}$이다.

위상수학적 성질

n차원 더시터르 공간은 $S^{n-1}\times \mathbb {R}$과 위상동형이다. 따라서 2차원이 아닌 더시터르 공간은 단일 연결 공간이다. (2차원 더시터르 공간은 물론 기본군 $\mathbb {Z}$를 가진다.)

펜로즈 그림

더시터르 공간의 펜로즈 그림. 좌변은 공간의 북극, 우변은 공간의 남극을 나타낸다. 윗변은 무한 미래, 아랫변은 무한 과거를 나타낸다.

더시터르 공간의 펜로즈 그림은 정사각형이다. 더시터르 공간의 경우 위상학적으로 $S^{n-1}\times \mathbb {R}$이므로, 정사각형 내부의 각 점은 $S^{n-2}$에 대응한다. 정사각형의 좌변과 우변은 $S^{n-1}$의 남극과 북극을 나타내므로, 좌변과 우변에서의 각 점은 실제 하나의 점에 대응한다. 정사각형의 윗변과 아랫변은 더시터르 공간의 각각 무한한 미래와 과거를 나타내고, 더시터르 공간의 실재하는 점에 대응하지 않는다.

좌표계

더시터르 공간에는 다양한 좌표계들이 존재한다. 그 중 흔히 쓰이는 것들은 다음과 같다.

정적 좌표계

정적 좌표계(靜的座標系, 영어: static coordinate system)로서 $(t,r,\ldots )$ 을 다음과 같이 놓을 수 있다.

$x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\sinh(t/\alpha )$

$x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cosh(t/\alpha )$

$x_{i}=rz_{i}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\leq i\leq n.$

여기서 $z_{i}$은 Rⁿ⁻¹ 안에서의 표준 매장으로서의 (n−2)차원 구면을 나타낸다. 이들 좌표를 가지고, 더시터르 계랑을 다음과 같이 기술할 수 있다.

$ds^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}.$

여기서 $r=\alpha$에 사건 지평선이 존재한다. 이를 우주론적 지평선(宇宙論的地平線, 영어: cosmological horizon)이라고 하며, 지평선 안을 관측 가능한 우주(영어: observable universe)라고 한다.

FLRW 좌표계

더시터르 공간은 FLRW 해의 한 종류이며, 공간의 곡률이 +1, 0, 또는 −1인 엽층을 줄 수 있다.

n차원 FLRW 계량은

$ds^{2}=-dt^{2}+a(t)^{2}d\Sigma ^{2}$

이며, 여기서

$d\Sigma ^{2}=d\Omega _{n-1}^{2}$ (n−1차원 초구 계량, $k=+1$인 경우)

$d\Sigma ^{2}=dr^{2}+r^{2}d\Omega _{n-2}^{2}$ (n−1차원 유클리드 공간 계량, $k=0$인 경우)

$d\Sigma ^{2}=dr^{2}+(\sinh ^{2}r)d\Omega _{n-2}^{2}$ (n−1차원 쌍곡공간 계량, $k=-1$인 경우)

이다. 척도인자 $a(t)$는 다음과 같다.

$a(t)=\alpha \cosh(t/\alpha )$ ($k=+1$)

$a(t)=\exp(t/\alpha )$ ($k=0$)

$a(t)=\alpha \sinh(t/\alpha )$ ($k=-1$)

열역학

더시터르 공간은 (반 더시터르 공간과 달리) 우주론적 지평선(cosmological horizon)을 가진다. 이에 따라, 더시터르 공간은 블랙홀과 마찬가지로 유한한 온도와 엔트로피를 가지게 된다.

더시터르 공간에서의 진공 상태는 번치-데이비스 진공(영어: Bunch–Davies vacuum)이라고 불리는 상태이며, 그 온도는

$T={\frac {\hbar }{k_{B}2\pi \alpha }}$

이다. 또한, 더시터르 공간의 지평선의 넓이

$A=\operatorname {vol} (S^{n-2})\alpha ^{n-2}$

는 유한하다. (여기서 $\operatorname {vol} (S^{n-2})$는 반지름이 1인 $n-2$차원 초구의 넓이다.) 따라서 블랙홀 열역학과 유사하게 엔트로피

$S={\frac {k_{B}c^{3}A}{4\hbar G}}={\frac {k_{B}c^{3}\operatorname {vol} (S^{n-2})\alpha ^{n-2}}{4\hbar G}}$

를 계산할 수 있다.

참고 문헌

• Moschella, Ugo (2006). 〈The de Sitter and anti-de Sitter sightseeing tour〉. 《Einstein, 1905–2005. Poincaré Seminar 2005》 (영어). Progress in Mathematical Physics 47. Springer. 120–133쪽. doi:10.1007/3-7643-7436-5_4. ISBN 978-3-7643-7435-8. 
• Bousso, Raphael (2003년 10월). 〈Adventures in de Sitter space〉. 《The future of theoretical physics and cosmology: Celebrating Stephen Hawking's Contributions to Physics》 (영어). Cambridge: Cambridge University Press. 539–569쪽. arXiv:hep-th/0205177. Bibcode:2003ftpc.book..539B. ISBN 978-052182081-3. 
• Kim, Yoonbai; Chae Young Oh, Namil Park (2002). “Classical geometry of de Sitter spacetime: an introductory review” (영어). arXiv:hep-th/0212326. Bibcode:2002hep.th...12326K. 
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• Anninos, Dionysios (2012년 5월 20일). “De Sitter musings”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 27 (13): 1230013. arXiv:1205.3855. Bibcode:2012IJMPA..2730013A. doi:10.1142/S0217751X1230013X. ISSN 0217-751X. 

외부 링크

• “De Sitter space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Trodden, Mark (2012년 4월 15일). “De Sitter space and cosmology”. 《Cosmic Variance》 (영어). Discover Magazine. 2014년 9월 3일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 8월 28일에 확인함. 

같이 보기

• 반 더시터르 공간
• dS/CFT 대응성
• 더시터르-슈바르트실트 우주
• 쌍곡면