해석학 에서 동등 연속 함수족 (同等連續函數族, 영어 : equicontinuous family of functions )은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다.
동등 연속 함수족
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
위상 공간
X
{\displaystyle X}
균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
임의의 측근
ϵ
∈
E
Y
{\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}
근방
U
∋
x
{\displaystyle U\ni x}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
x
{\displaystyle x}
영어 : family of functions equicontinuous at
x
{\displaystyle x}
)이라고 한다.[1] :TG X.10, Définition X.2.1
임의의
f
∈
F
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}
x
′
∈
U
{\displaystyle x'\in U}
f
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
′
)
{\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x')}
모든 점에서 동등 연속인 함수족을 동등 연속 함수족 이라고 한다.
균등 동등 연속 함수족
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마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
균등 공간
(
X
,
E
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})}
균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
임의의 측근
ϵ
∈
E
Y
{\displaystyle \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}}
측근
δ
∈
E
X
{\displaystyle \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
균등 동등 연속 함수족 (均等同等連續函數族, 영어 : uniformly equicontinuous family of functions )이라고 한다.[1] :TG X.11, Définition X.2.2
임의의
f
∈
F
{\displaystyle f\in {\mathcal {F}}}
x
,
x
′
∈
X
{\displaystyle x,x'\in X}
x
≈
δ
x
′
{\displaystyle x\approx _{\delta }x'}
f
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
′
)
{\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x')}
여기서
x
≈
δ
x
0
{\displaystyle x\approx _{\delta }x_{0}}
(
x
,
x
0
)
∈
δ
∈
E
X
{\displaystyle (x,x_{0})\in \delta \in {\mathcal {E}}_{X}}
X
{\displaystyle X}
거리 함수 로부터 유도된다면, 이는
δ
{\displaystyle \delta }
d
X
(
x
,
x
0
)
<
δ
{\displaystyle d_{X}(x,x_{0})<\delta }
f
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
0
)
{\displaystyle f(x)\approx _{\epsilon }f(x_{0})}
함의 관계
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두 균등 공간
(
X
,
E
X
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {E}}_{X})}
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
개념
δ
{\displaystyle \delta }
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
f
{\displaystyle f}
δ
{\displaystyle \delta }
x
{\displaystyle x}
정의
연속 함수 족예
예
예
∀
ϵ
∈
E
Y
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∃
δ
∈
E
X
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∀
x
′
∈
X
:
(
x
≈
δ
x
′
⟹
f
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
′
)
)
{\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X}\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}
균등 연속 함수 족예
예
아니오
∀
ϵ
∈
E
Y
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∃
δ
∈
E
X
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∀
x
′
∈
X
:
(
x
≈
δ
x
′
⟹
f
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
′
)
)
{\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}\forall f\in {\mathcal {F}}{\color {White}\forall x\in X}\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}}\forall x\in X\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}
동등 연속 함수족
예
아니오
예
∀
ϵ
∈
E
Y
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∃
δ
∈
E
X
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∀
x
′
∈
X
:
(
x
≈
δ
x
′
⟹
f
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
′
)
)
{\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}}\forall x\in X\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}\forall f\in {\mathcal {F}}{\color {White}\forall x\in X}\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}
균등 동등 연속 함수족
예
아니오
아니오
∀
ϵ
∈
E
Y
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∃
δ
∈
E
X
∀
f
∈
F
∀
x
∈
X
∀
x
′
∈
X
:
(
x
≈
δ
x
′
⟹
f
(
x
)
≈
ϵ
f
(
x
′
)
)
{\displaystyle \forall \epsilon \in {\mathcal {E}}_{Y}{\color {White}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X}\exists \delta \in {\mathcal {E}}_{X}\forall f\in {\mathcal {F}}\forall x\in X\forall x'\in X\colon (x\approx _{\delta }x'\implies f(x)\approx _{\epsilon }f(x'))}
여기서
그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
아르첼라-아스콜리 정리
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다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
연속 함수족
F
⊆
Y
X
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}
그렇다면, 함수 집합
Y
X
{\displaystyle Y^{X}}
균등 수렴 위상 을 부여하여 위상 공간 및 균등 공간 으로 만들 수 있다.
아르첼라-아스콜리 정리 (영어 : Arzelà–Ascoli theorem )에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[1] :TG X.17, Théorème X.2.2
F
⊆
Y
X
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}
균등 수렴 위상 에 대하여) 콤팩트 집합 이다.다음 두 조건이 성립한다.
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
{
f
(
x
)
:
f
∈
F
}
⊆
Y
{\displaystyle \{f(x)\colon f\in {\mathcal {F}}\}\subseteq Y}
콤팩트 집합 이다. 마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
콤팩트 균등 공간
X
{\displaystyle X}
균등 공간
(
Y
,
E
Y
)
{\displaystyle (Y,{\mathcal {E}}_{Y})}
균등 연속 함수 족
F
⊆
Y
X
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.[1] :TG X.17, Théorème X.2.2
F
⊆
Y
X
{\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}
균등 수렴 위상 에 대하여) 콤팩트 집합 이다.다음 두 조건이 성립한다.
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
모든
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
{
f
(
x
)
:
f
∈
F
}
⊆
Y
{\displaystyle \{f(x)\colon f\in {\mathcal {F}}\}\subseteq Y}
콤팩트 집합 이다.
동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리(이탈리아어 : Giulio Ascoli , 1843~1896)[2] 이탈리아어 : Cesare Arzelà , 1847~1912)[3]
참고 문헌
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↑ 가 나 다 라 Bourbaki, Nicolas (1974). 《Topologie générale. Chapitres 5 à 10》. Éléments de mathématique (프랑스어). Hermann. doi :10.1007/978-3-540-34486-5 . ↑ Ascoli, Giulio (1883). “Le curve limite di una varietà data di curve”. 《Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti》 (이탈리아어) 18 : 521–586. ↑ Arzelà, Cesare (1893). “Un’ osservazione intorno alle Serie di funzioni”. 《Memorie della Reale Accademia delle Scienze dell’Istituto di Bologna》 (이탈리아어) 5 : 142–159.
외부 링크
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