등급 가군

환론에서 등급 가군(等級加群, 영어: graded module)은 등급이 붙어, 등급환이 (왼쪽 또는 오른쪽에서) 작용할 수 있는 가군이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 모노이드 $(I,\cdot ,1)$
• $I$-등급환 $\textstyle R=\bigoplus _{i\in I}R_{i}$

그렇다면, $R$ 위의 왼쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 아벨 군의 족 $(M_{i})_{i\in I}$. 또한, $\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$로 표기하자.
• $M$ 위의 $R$-왼쪽 가군 구조 $R\otimes _{\mathbb {Z} }M\to M$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$R_{i}M_{j}\subseteq M_{ij}\qquad \forall i,j\in I$

마찬가지로, $R$ 위의 오른쪽 등급 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 아벨 군의 족 $(M_{i})_{i\in I}$. 또한, $\textstyle M=\bigoplus _{i\in I}M_{i}$로 표기하자.
• $M$ 위의 $R$-오른쪽 가군 구조 $M\otimes _{\mathbb {Z} }R\to M$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$M_{i}R_{j}\subseteq M_{ij}\qquad \forall i,j\in I$

만약 $R_{1}$이 체일 때, $R$-등급 가군은 ($R_{0}$-벡터 공간이므로) 보통 $R$-등급 벡터 공간(等級vector空間, 영어: graded vector space)이라고 부른다.

등급 가군 준동형

두 $R$-왼쪽 등급 가군 $M$, $N$ 사이의 준동형 $f\colon M\to N$은 다음 조건을 만족시키는 $R$-왼쪽 가군 준동형이다.

$f(M_{i})\subseteq N_{i}\qquad \forall i\in I$

두 $R$-오른쪽 등급 가군 사이의 준동형 역시 마찬가지로 정의된다.

연산

직합

$I$-등급환 $R$ 위의 왼쪽 등급 가군들의 족 $(M^{a})^{a\in A}$이 주어졌을 때, 이들의 직합

$M=\bigoplus _{a\in A}M^{a}$

$M_{i}=\bigoplus _{a\in A}M_{i}^{a}\qquad \forall i\in I$

역시 $R$-왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

텐서곱

$I$-등급환 $R$ 위의 두 왼쪽 등급 가군 $M$, $N$이 주어졌을 때, 그 텐서곱

$(M\otimes N)_{i}=\bigoplus _{j,k\in I\colon jk=i}M_{i}N_{j}$

을 정의할 수 있다. 이 역시 $R$-왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

뒤틂

$I$-등급환 $R$ 위의 왼쪽 등급 가군 $M$ 및 $i_{0}\in I$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$의 $i_{0}$-뒤틂(영어: twist) $M(i_{0})$은 다음과 같다.

$M(i_{0})_{i}=M_{ii_{0}}$

마찬가지로, $I$-등급환 $R$ 위의 오른쪽 등급 가군 $M$ 및 $i_{0}\in I$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $M$의 $i_{0}$-뒤틂(영어: twist) $M(i_{0})$은 다음과 같다.

$M(i_{0})_{i}=M_{i_{0}i}$

힐베르트-푸앵카레 급수

 이 부분의 본문은 힐베르트 다항식입니다.

$\mathbb {N}$-등급환 $R$ 위의 왼쪽 등급 가군 $M$의 힐베르트-푸앵카레 급수(영어: Hilbert–Poincaré series)는 (만약 존재한다면) 다음과 같다.

$p_{M}(t)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\ell _{R_{0}}(M_{i})t^{i}\in \mathbb {Z} [[t]]$

여기서

• $\ell _{R_{0}}(-)$는 ($R_{0}$-왼쪽 가군으로서의) 길이이다. 만약 이것이 무한하다면 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다.
• $\mathbb {Z} [[t]]$는 정수 계수 1변수 형식적 멱급수환이다.

예

체 $K$에 자명한 $\mathbb {Z} /2$-등급을 부여하였을 때, $K$-등급 가군

$V=V_{0}\oplus V_{1}$

은 $K$-초벡터 공간(영어: super-vector space)이라고 한다.

정수환 $\mathbb {Z}$에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 등급 아벨 군(영어: graded Abelian group)이라고 한다.

참고 문헌

• Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (2004). 《Methods of graded rings》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 1836. Springer-Verlag. doi:10.1007/b94904. ISBN 978-3-540-20746-7. ISSN 0075-8434. 
• Nastasescu, C.; Van Oystaeyen, F. (1982). 《Graded ring theory》 (영어). North-Holland. 

외부 링크

• “Graded module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Graded vector space”. 《nLab》 (영어). 
• “Graded abelian group”. 《nLab》 (영어).