디리클레 등차수열 정리
수론에서 디리클레 등차수열 정리(Dirichlet等差數列定理, 영어: Dirichlet’s theorem on arithmetic progressions)는 첫 수와 항들의 차가 서로소인 등차수열에 무한히 많은 소수들이 포함되어 있다는 정리다.
정의 편집
와 가 서로소인 양의 정수라고 하자. 디리클레 등차수열 정리에 따르면, 등차수열
에는 무한히 많은 소수가 포함되어 있다. 즉, 무한히 많은 소수들을
의 꼴로 나타낼 수 있다. 또한, 이 수열에 포함된 소수들의 역수들의 합은 발산한다.
예 편집
대표적인 등차수열에 포함된 소수들은 다음과 같다.
| 등차수열 | 포함된 소수 | OEIS 수열 |
|---|---|---|
| 2n + 1 | 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … | (OEIS의 수열 A065091) |
| 4n + 1 | 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … | (OEIS의 수열 A002144) |
| 4n + 3 | 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … | (OEIS의 수열 A002145) |
| 6n + 1 | 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, … | (OEIS의 수열 A002476) |
| 6n + 5 | 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, … | (OEIS의 수열 A007528) |
| 8n + 1 | 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, … | (OEIS의 수열 A007519) |
| 8n + 3 | 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, … | (OEIS의 수열 A007520) |
| 8n + 5 | 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, … | (OEIS의 수열 A007521) |
| 8n + 7 | 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, … | (OEIS의 수열 A007522) |
| 10n + 1 | 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, … | (OEIS의 수열 A030430) |
| 10n + 3 | 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, … | (OEIS의 수열 A030431) |
| 10n + 7 | 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, … | (OEIS의 수열 A030432) |
| 10n + 9 | 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, … | (OEIS의 수열 A030433) |
| 12n + 1 | 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, … | (OEIS의 수열 A068228) |
| 12n + 5 | 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, … | (OEIS의 수열 A040117) |
| 12n + 7 | 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, … | (OEIS의 수열 A068229) |
| 12n + 11 | 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, … | (OEIS의 수열 A068231) |
역사 편집
레온하르트 오일러는 1로 시작하는 모든 등차수열에 대하여 이 정리를 추측하였고, 아드리앵마리 르장드르가 이 추측을 임의의 등차수열로 일반화하였다.
페터 구스타프 르죈 디리클레가 1837년 이 정리를 증명하였다.[1][2] 이를 증명하기 위하여 디리클레는 수론에 해석학적인 기법을 도입하였다. 이는 해석적 수론의 시초로 여겨진다.
참고 문헌 편집
- ↑ Dirichlet, P. G. L. (1837). “Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält”. 《Abhand. Ak. Wiss. Berlin》 (독일어) 48.
- ↑ Dirichlet, Peter Gustav Lejeune. “There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime” (영어). arXiv:0808.1408. Bibcode:2008arXiv0808.1408L. (디리클레 논문 영어 번역)
- ↑ Selberg, Atle (1949). “An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression”. 《Annals of Mathematics》 50 (2): 297–304. doi:10.2307/1969454. JSTOR 1969454.
외부 링크 편집
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet's Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Caldwell, Chris. “Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions”. 《Prime Pages》 (영어).
- 이철희. “등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리”. 《수학노트》.