대수적 위상수학 에서 매시 곱 (영어 : Massey product )은 코호몰로지 곱을 일반화하는 다항 연산이다. 이를 통하여, 코호몰로지의 환 구조만으로는 알 수 없는 위상수학적 불변량을 계산할 수 있다.
미분 등급 대수
(
A
,
d
)
{\displaystyle (A,d)}
코호몰로지
H
∙
(
A
)
{\displaystyle H^{\bullet }(A)}
u
∈
H
∙
(
A
)
{\displaystyle u\in H^{\bullet }(A)}
u
¯
=
(
−
)
deg
u
+
1
u
{\displaystyle {\bar {u}}=(-)^{\deg u+1}u}
로 정의하자.
코호몰로지
H
∙
(
A
)
{\displaystyle H^{\bullet }(A)}
n
{\displaystyle n}
⟨
−
,
−
,
…
,
−
⏞
n
⟩
:
(
H
∙
(
A
)
)
n
→
P
(
H
∙
(
A
)
)
{\displaystyle \langle \overbrace {-,-,\dots ,-} ^{n}\rangle \colon (H^{\bullet }(A))^{n}\to {\mathcal {P}}(H^{\bullet }(A))}
은
n
{\displaystyle n}
⟨
[
a
1
,
1
]
,
…
,
[
a
n
,
n
]
⟩
=
{
∑
i
=
1
n
−
1
a
1
,
i
a
i
+
1
,
n
:
∀
1
≤
i
≤
k
≤
n
,
(
i
,
j
)
≠
(
1
,
n
)
:
d
a
i
,
k
=
∑
j
=
i
k
−
1
a
¯
i
,
j
a
j
+
1
,
k
}
{\displaystyle \langle [a_{1,1}],\dots ,[a_{n,n}]\rangle =\left\{\sum _{i=1}^{n-1}a_{1,i}a_{i+1,n}\colon \qquad \forall 1\leq i\leq k\leq n,\;(i,j)\neq (1,n)\colon da_{i,k}=\sum _{j=i}^{k-1}{\bar {a}}_{i,j}a_{j+1,k}\right\}}
이 등식에서
deg
a
i
,
k
=
i
−
k
+
∑
j
=
i
k
deg
a
j
,
j
{\displaystyle \deg a_{i,k}=i-k+\sum _{j=i}^{k}\deg a_{j,j}}
이며, 따라서
deg
⟨
u
1
,
…
,
u
n
⟩
=
∑
i
=
1
n
deg
u
n
+
2
−
n
{\displaystyle \deg \langle u_{1},\dots ,u_{n}\rangle =\sum _{i=1}^{n}\deg u_{n}+2-n}
이다.
불확정성
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일반적으로, 매시 곱은 공집합이거나 두 개 이상의 원소를 가질 수 있는 집합 이다. 3차 매시 곱의 두 원소의 차는 다음과 같은 아이디얼 에 속한다.
x
,
y
∈
⟨
[
a
1
]
,
[
a
2
]
,
[
a
3
]
⟩
{\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],[a_{3}]\rangle }
x
−
y
∈
(
[
a
1
]
)
+
(
[
a
3
]
)
{\displaystyle x-y\in ([a_{1}])+([a_{3}])}
즉, 매시 곱을 다음과 같은 몫군 속의 값으로 정의한다면, 매시 곱은 유일하다.
x
,
y
∈
⟨
[
a
1
]
,
[
a
2
]
,
[
a
3
]
⟩
{\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],[a_{3}]\rangle }
x
−
y
∈
H
deg
a
1
+
deg
a
2
+
deg
a
3
/
(
[
a
1
]
H
deg
a
2
+
deg
a
3
+
H
deg
a
1
+
deg
a
2
[
a
3
]
)
{\displaystyle x-y\in H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}+\deg a_{3}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2}+\deg a_{3}}+H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}}[a_{3}]\right)}
보다 일반적으로,
n
{\displaystyle n}
몫군 속에서 정의된다.
x
,
y
∈
⟨
[
a
1
]
,
[
a
2
]
,
…
,
[
a
n
]
⟩
{\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],\dots ,[a_{n}]\rangle }
x
−
y
∈
H
∑
i
deg
a
i
/
(
[
a
1
]
H
deg
a
2
,
n
+
H
deg
a
1
,
2
H
deg
a
3
,
n
+
⋯
+
H
deg
a
1
,
n
−
2
H
deg
a
n
−
1
,
n
+
H
deg
a
1
,
n
−
1
[
a
n
]
)
{\displaystyle x-y\in H^{\sum _{i}\deg a_{i}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2,n}}+H^{\deg a_{1,2}}H^{\deg a_{3,n}}+\cdots +H^{\deg a_{1,n-2}}H^{\deg a_{n-1,n}}+H^{\deg a_{1,n-1}}[a_{n}]\right)}
여기서
deg
a
i
,
j
=
i
−
j
+
deg
a
i
+
deg
a
i
+
1
+
⋯
+
deg
a
j
{\displaystyle \deg a_{i,j}=i-j+\deg a_{i}+\deg a_{i+1}+\cdots +\deg a_{j}}
이다.
낮은 차수의 매시 곱
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0항 및 1항 매시 곱은 항상
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
⟨
u
,
v
⟩
=
{
u
v
}
{\displaystyle \langle u,v\rangle =\{uv\}}
이다.
3항 매시 곱은 최초로 자명하지 않은 매시 곱이며, 다음과 같다. 만약
u
v
=
v
w
=
0
{\displaystyle uv=vw=0}
d
s
=
u
¯
v
{\displaystyle ds={\bar {u}}v}
d
t
=
v
¯
w
{\displaystyle dt={\bar {v}}w}
라면,
⟨
[
u
]
,
[
v
]
,
[
w
]
⟩
=
[
s
¯
w
+
u
¯
t
]
{\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]}
이다.
4항 매시 곱은 다음과 같다.
[
u
v
]
=
[
v
w
]
=
[
w
x
]
=
0
{\displaystyle [uv]=[vw]=[wx]=0}
d
r
=
u
¯
v
{\displaystyle dr={\bar {u}}v}
d
s
=
v
¯
w
{\displaystyle ds={\bar {v}}w}
d
t
=
w
¯
x
{\displaystyle dt={\bar {w}}x}
[
r
¯
w
+
u
¯
s
]
=
[
s
¯
x
+
v
¯
t
]
=
0
{\displaystyle [{\bar {r}}w+{\bar {u}}s]=[{\bar {s}}x+{\bar {v}}t]=0}
d
p
=
u
¯
s
+
r
¯
w
{\displaystyle dp={\bar {u}}s+{\bar {r}}w}
d
q
=
v
¯
t
+
s
¯
x
{\displaystyle dq={\bar {v}}t+{\bar {s}}x}
⟨
[
u
]
,
[
v
]
,
[
w
]
,
[
x
]
⟩
=
[
u
¯
q
+
r
¯
t
+
p
¯
x
]
{\displaystyle \langle [u],[v],[w],[x]\rangle =[{\bar {u}}q+{\bar {r}}t+{\bar {p}}x]}
매시 곱을 사용하여, 보로메오 고리가 얽혀 있다는 것을 알 수 있다. 매시 곱은 코호몰로지 의 곱 연산만으로 알 수 없는 위상수학적 불변량들을 측정한다. 예를 들어, 연환 의 일종인 보로메오 고리 (영어 : Borromean rings )는 그 여공간의 코호몰로지 의 곱만으로는 세 개의 고리가 분리될 수 없다는 것을 알지 못하지만, 각 고리에 대응하는 코호몰로지 원소의 3중 매시 곱이 0이 아니므로 세 개의 고리가 얽혀 있다는 사실을 알 수 있다.
윌리엄 슈마허 매시(영어 : William Schumacher Massey )가 1958년에 도입하였다.[1]
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle \langle [a_{1,1}],\dots ,[a_{n,n}]\rangle =\left\{\sum _{i=1}^{n-1}a_{1,i}a_{i+1,n}\colon \qquad \forall 1\leq i\leq k\leq n,\;(i,j)\neq (1,n)\colon da_{i,k}=\sum _{j=i}^{k-1}{\bar {a}}_{i,j}a_{j+1,k}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58b3933750a7c58beb0963d957a6b7e7fe4c92f8)
![{\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],[a_{3}]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7f5ca76009ec2e1083b8aae5467b096268e9207)
![{\displaystyle x-y\in ([a_{1}])+([a_{3}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f71a7965657a9d789045c712c33bc8e12cdc86c5)
![{\displaystyle x-y\in H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}+\deg a_{3}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2}+\deg a_{3}}+H^{\deg a_{1}+\deg a_{2}}[a_{3}]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400cf446ff78ae20d52f74a23cea5e0776f36c70)
![{\displaystyle x,y\in \langle [a_{1}],[a_{2}],\dots ,[a_{n}]\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6988376c2a1bcffeba4e8d2f28d2d72f9fb2062)
![{\displaystyle x-y\in H^{\sum _{i}\deg a_{i}}/\left([a_{1}]H^{\deg a_{2,n}}+H^{\deg a_{1,2}}H^{\deg a_{3,n}}+\cdots +H^{\deg a_{1,n-2}}H^{\deg a_{n-1,n}}+H^{\deg a_{1,n-1}}[a_{n}]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1030953122ea99a4fb7196af5104fc98cfa7e148)
![{\displaystyle \langle [u],[v],[w]\rangle =[{\bar {s}}w+{\bar {u}}t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62a241f46de10623f18e40c94401e8a8265bcb0)
![{\displaystyle [uv]=[vw]=[wx]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24320126246405f81e92d2efb4e47d82e61de9c4)
![{\displaystyle [{\bar {r}}w+{\bar {u}}s]=[{\bar {s}}x+{\bar {v}}t]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b5b0108b11b98c28382b1b59d55914a5d29a9b)
![{\displaystyle \langle [u],[v],[w],[x]\rangle =[{\bar {u}}q+{\bar {r}}t+{\bar {p}}x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3632e6aa7f5c2f07b4d4d884d17ef6d74d531a6)
