모노이드 범주
(
C
,
⊗
,
I
,
α
,
λ
,
ρ
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
함자
⊗
:
C
×
C
→
C
{\displaystyle \otimes \colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
대상
I
∈
C
{\displaystyle I\in {\mathcal {C}}}
. 이를 항등원 (恒等元, 영어 : identity element )이라고 한다.
함자
(
−
⊗
−
)
⊗
−
:
C
×
C
×
C
→
C
{\displaystyle (-\otimes -)\otimes -\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,
−
⊗
(
−
⊗
−
)
:
C
×
C
×
C
→
C
{\displaystyle -\otimes (-\otimes -)\colon {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
사이의 자연 동형
α
:
(
−
⊗
−
)
⊗
−
⇒
−
⊗
(
−
⊗
−
)
{\displaystyle \alpha \colon (-\otimes -)\otimes -\Rightarrow -\otimes (-\otimes -)}
. 그 성분을
α
X
Y
Z
:
(
X
⊗
Y
)
⊗
Z
→
X
⊗
(
Y
⊗
Z
)
{\displaystyle \alpha _{XYZ}\colon (X\otimes Y)\otimes Z\to X\otimes (Y\otimes Z)}
로 쓰자. 이를 결합자 (結合子, 영어 : associator )라고 한다.
함자
I
⊗
:
C
→
C
{\displaystyle I\otimes \colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,
Id
C
:
C
→
C
{\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
사이의 자연 동형
λ
:
I
⊗
⇒
Id
C
{\displaystyle \lambda \colon I\otimes \Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}
. 그 성분을
λ
X
:
I
⊗
X
→
X
{\displaystyle \lambda _{X}\colon I\otimes X\to X}
로 쓰자. 이를 왼쪽 항등자 (왼쪽恒等子, 영어 : left unitor )라고 한다.
함자
⊗
I
:
C
→
C
{\displaystyle \otimes I\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
,
Id
C
:
C
→
C
{\displaystyle \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}}
사이의 자연 동형
ρ
:
⊗
I
⇒
Id
C
{\displaystyle \rho \colon \otimes I\Rightarrow \operatorname {Id} _{\mathcal {C}}}
. 그 성분을
ρ
X
:
X
⊗
I
→
X
{\displaystyle \rho _{X}\colon X\otimes I\to X}
로 쓰자. 이를 오른쪽 항등자 (오른쪽恒等子, 영어 : right unitor )라고 한다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
(결합자의 일관성) 임의의 대상
X
,
Y
,
Z
,
W
∈
C
{\displaystyle X,Y,Z,W\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
α
X
,
Y
,
Z
⊗
W
∘
α
X
⊗
Y
,
Z
,
W
=
id
X
⊗
α
Y
,
Z
,
W
∘
α
X
,
Y
⊗
Z
,
W
∘
α
X
,
Y
,
Z
⊗
id
W
{\displaystyle \alpha _{X,Y,Z\otimes W}\circ \alpha _{X\otimes Y,Z,W}=\operatorname {id} _{X}\otimes \alpha _{Y,Z,W}\circ \alpha _{X,Y\otimes Z,W}\circ \alpha _{X,Y,Z}\otimes \operatorname {id} _{W}}
. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
(
(
X
⊗
Y
)
⊗
Z
)
⊗
W
→
α
(
X
⊗
(
Y
⊗
Z
)
)
⊗
W
→
α
X
⊗
(
(
Y
⊗
Z
)
⊗
W
)
α
↘
↓
α
(
X
⊗
Y
)
⊗
(
Z
⊗
W
)
→
α
X
⊗
(
Y
⊗
(
Z
⊗
W
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}((X\otimes Y)\otimes Z)\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&(X\otimes (Y\otimes Z))\otimes W&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes ((Y\otimes Z)\otimes W)\\&{\scriptstyle \alpha }\searrow &&&\downarrow \scriptstyle \alpha \\&&(X\otimes Y)\otimes (Z\otimes W)&{\xrightarrow[{\alpha }]{}}&X\otimes (Y\otimes (Z\otimes W))\end{matrix}}}
(항등원의 일관성) 임의의 대상
X
,
Y
∈
C
{\displaystyle X,Y\in {\mathcal {C}}}
에 대하여,
α
X
,
I
,
Y
∘
id
X
⊗
λ
Y
=
ρ
X
⊗
id
Y
{\displaystyle \alpha _{X,I,Y}\circ \operatorname {id} _{X}\otimes \lambda _{Y}=\rho _{X}\otimes \operatorname {id} _{Y}}
. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
(
X
⊗
I
)
⊗
Y
→
α
X
⊗
(
I
⊗
Y
)
ρ
↘
↓
λ
X
⊗
Y
{\displaystyle {\begin{matrix}(X\otimes I)\otimes Y&{\xrightarrow {\alpha }}&X\otimes (I\otimes Y)\\&{\scriptstyle \rho }\searrow &\downarrow \scriptstyle \lambda \\&&X\otimes Y\end{matrix}}}
모노이드 함자
편집
두 모노이드 범주
(
C
,
⊗
,
I
,
α
,
λ
,
ρ
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}
와
(
C
′
,
⊗
′
,
I
′
,
α
′
,
λ
′
,
ρ
′
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}}',\otimes ',I',\alpha ',\lambda ',\rho ')}
가 주어졌다고 하자. 모노이드 함자 (monoid函子, 영어 : monoidal functor )
(
F
,
ξ
,
ξ
0
)
{\displaystyle (F,\xi ,\xi _{0})}
는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
함자
F
:
C
→
C
′
{\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}'}
자연 동형
ξ
X
Y
:
F
(
X
)
⊗
′
F
(
Y
)
→
F
(
X
⊗
Y
)
{\displaystyle \xi _{XY}:F(X)\otimes 'F(Y)\to F(X\otimes Y)}
동형 사상
ξ
0
:
I
′
→
F
(
I
)
{\displaystyle \xi _{0}:I'\to F(I)}
이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
(결합성) 임의의
X
,
Y
,
Z
∈
C
{\displaystyle X,Y,Z\in {\mathcal {C}}}
에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.
(
F
(
X
)
⊗
′
F
(
Y
)
)
⊗
′
F
(
Z
)
→
ξ
⊗
id
F
(
X
⊗
Y
)
⊗
′
F
(
Z
)
→
ξ
F
(
(
X
⊗
Y
)
⊗
Z
)
↓
α
′
↓
F
(
α
)
F
(
X
)
⊗
′
(
F
(
Y
)
⊗
′
F
(
Z
)
)
→
id
⊗
ξ
F
(
X
)
⊗
′
F
(
Y
⊗
Z
)
→
ξ
F
(
X
⊗
(
Y
⊗
Z
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}(F(X)\otimes 'F(Y))\otimes 'F(Z)&{\xrightarrow {\xi \otimes \operatorname {id} }}&F(X\otimes Y)\otimes 'F(Z)&{\xrightarrow {\xi }}&F((X\otimes Y)\otimes Z)\\\downarrow \scriptstyle \alpha '&&&&\downarrow \scriptstyle F(\alpha )\\F(X)\otimes '(F(Y)\otimes 'F(Z))&{\xrightarrow[{\operatorname {id} \otimes \xi }]{}}&F(X)\otimes 'F(Y\otimes Z)&{\xrightarrow[{\xi }]{}}&F(X\otimes (Y\otimes Z))\end{matrix}}}
(항등성) 임의의
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
에 대하여 다음 두 그림이 가환 그림이다.
I
′
⊗
′
F
(
X
)
→
ξ
0
⊗
id
F
(
I
)
⊗
′
F
(
X
)
↓
λ
′
↓
ξ
F
(
X
)
←
F
(
λ
)
F
(
I
⊗
X
)
F
(
X
)
⊗
′
I
′
→
id
⊗
ξ
0
F
(
X
)
⊗
′
F
(
I
)
↓
ρ
′
↓
ξ
F
(
X
)
←
F
(
ρ
)
F
(
X
⊗
I
)
{\displaystyle {\begin{matrix}I'\otimes 'F(X)&{\xrightarrow {\xi _{0}\otimes \operatorname {id} }}&F(I)\otimes 'F(X)\\\downarrow \scriptstyle \lambda '&&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&{\xleftarrow {F(\lambda )}}&F(I\otimes X)\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}F(X)\otimes 'I'&{\xrightarrow {\operatorname {id} \otimes \xi _{0}}}&F(X)\otimes 'F(I)\\\downarrow \scriptstyle \rho '&&\downarrow \scriptstyle \xi \\F(X)&{\xleftarrow {F(\rho )}}&F(X\otimes I)\end{matrix}}}
모든
ξ
X
Y
{\displaystyle \xi _{XY}}
와
ξ
0
{\displaystyle \xi _{0}}
가 동형 사상 이면,
F
{\displaystyle F}
를 엄격한 모노이드 함자 (영어 : strict monoidal functor )라고 한다.
대칭 모노이드 범주
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모노이드 범주에서, 이항 연산은 일반적으로 교환 법칙 을 만족시키지 않는다. 즉, 임의의 두 대상
X
,
Y
{\displaystyle X,Y}
에 대하여,
X
⊗
Y
≅
Y
⊗
X
{\displaystyle X\otimes Y\cong Y\otimes X}
일 필요가 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 대칭 모노이드 범주 의 개념을 얻는다.
닫힌 모노이드 범주
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모노이드 범주에서, 모노이드 연산과 호환되는 일종의 지수 대상 의 존재에 대한 조건을 추가하면, 닫힌 모노이드 범주 의 개념을 얻는다.
손더스 매클레인 이 1963년에 모노이드 범주 및 대칭 모노이드 범주 의 개념을 정의하였고, 모노이드 범주가 만족시켜야 하는 (무한한 수의) 항등식 가환 그림들이 오직 5개의 가환 그림만으로 함의된다는 매클레인 일관성 정리 (Mac Lane一貫性定理, 영어 : Mac Lane coherence theorem )를 증명하였다.[3] 조금 더 정확히 말하면, 모든 모노이드 범주는 결합자와 두 항등자가 모두 항등 자연 변환인 모노이드 범주와 (모노이드 범주로서) 동치 이다. 이후 그레고리 맥스웰 켈리(영어 : Gregory Maxwell Kelly , 1930~2007)가 매클레인의 5개의 가환 그림이 2개(오각형과 삼각형)의 가환 그림만으로 함의된다는 것을 보였다.[4] :Theorem 3′
참고 문헌
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↑ Etingof, Pavel; Gelaki, Shlomo; Nikshych, Dmitri; Ostrik, Victor (2015). 《Tensor categories》 (PDF) . Mathematical Surveys and Monographs (영어) 205 . American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2024-6 . ISSN 0076-5376 .
↑ Aguiar, Marcelo; Mahajan, Swapneel (2010). 《Monoidal functors, species and Hopf algebras》 (PDF) . Centre de Recherches Mathématiques Monograph Series (영어) 29 . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4776-3 . ISSN 1065-8599 .
↑ Mac Lane, Saunders (1963). “Natural associativity and commutativity” . 《Rice University Studies》 (영어) 49 (4): 28–46. ISSN 0035-4996 . Zbl 0244.18008 .
↑ Kelly, Gregory Maxwell (1964년 12월). “On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc.”. 《Journal of Algebra》 (영어) 1 (4): 397–402. doi :10.1016/0021-8693(64)90018-3 . ISSN 0021-8693 .
외부 링크
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