무연근 (無緣根, Extraneous and missing solutions )
다항방정식은 해 를 구하는 유도과정을 거쳐서 근 을 찾게 되는데,[1] 이때 다항식 이 유리방정식(분수방정식) 이나 무리방정식 의 경우라면, 해로서 구한 근이 다항방정식의 근이기도 하지만 원래의 유리방정식이나 무리방정식의 근이 아닌 것이 해로 포함되어 나타낼 때가 있다. 이와 같은 근을 무연근이라고 한다.[2]
따라서 유리방정식이나 무리방정식의 근의 경우에는 찾은 근을 원래의 다항식에 대입하여 다항방정식이 성립되지 않는 무연근을 찾아 제외해야 하는 검산을 거쳐야 한다.
유리방정식의 경우
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무리방정식의 경우
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방정식의 항에 무리수 를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리방정식이라 한다.
무리방정식
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
에 대해서,
x
+
1
=
k
{\displaystyle {\sqrt {x+1}}=k}
로 치환 하면,
(
x
+
1
)
2
=
(
k
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x+1}})^{2}=(k)^{2}}
x
+
1
=
k
2
{\displaystyle x+1=k^{2}}
x
=
k
2
−
1
{\displaystyle x=k^{2}-1}
(
k
2
−
1
)
+
k
−
1
=
0
{\displaystyle (k^{2}-1)+k-1=0}
k
2
+
k
−
2
=
0
{\displaystyle k^{2}+k-2=0}
이것은 이차방정식이므로 근의 공식을 대입하면,
k
=
−
1
±
1
2
−
(
4
⋅
−
2
)
2
{\displaystyle k={{-1\pm {\sqrt {1^{2}-(4\cdot -2)}}} \over {2}}}
k
=
−
1
±
1
+
8
2
{\displaystyle k={{-1\pm {\sqrt {1+8}}} \over {2}}}
k
=
−
1
±
9
2
{\displaystyle k={{-1\pm {\sqrt {9}}} \over {2}}}
k
=
−
1
+
9
2
,
−
1
−
9
2
{\displaystyle k={{-1+{\sqrt {9}}} \over {2}},{{-1-{\sqrt {9}}} \over {2}}}
k
=
−
1
+
3
2
,
−
1
−
3
2
{\displaystyle k={{-1+3} \over {2}},{{-1-3} \over {2}}}
k
=
2
2
,
−
4
2
{\displaystyle k={2 \over {2}},{-4 \over {2}}}
k
=
1
,
−
2
{\displaystyle k={1},{-2}}
치환 을 정리하면,
x
=
k
2
−
1
,
k
=
1
,
−
2
{\displaystyle x=k^{2}-1,k={1},{-2}}
k
=
1
{\displaystyle k={1}}
일때,
x
=
(
1
)
2
−
1
{\displaystyle x=(1)^{2}-1}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
식에 대입하여 무연근을 확인하면,
0
+
0
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle 0+{\sqrt {0+1}}-1=0}
0
=
0
{\displaystyle 0=0}
이므로 무연근이 아니고,
k
=
−
2
{\displaystyle k={-2}}
일때,
x
=
(
−
2
)
2
−
1
{\displaystyle x=(-2)^{2}-1}
x
=
4
−
1
{\displaystyle x=4-1}
x
=
3
{\displaystyle x=3}
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
식에 대입하여 무연근을 확인하면,
3
+
3
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle 3+{\sqrt {3+1}}-1=0}
3
+
4
−
1
=
0
{\displaystyle 3+{\sqrt {4}}-1=0}
3
+
2
−
1
=
0
{\displaystyle 3+2-1=0}
4
=
0
{\displaystyle 4=0}
4
≠
0
{\displaystyle 4\neq 0}
이므로 무연근이다.
따라서,
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
의 근은
x
=
0
{\displaystyle x=0}
이다.
같이 보기
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