무작위장

확률론과 통계학에서 무작위장(영어: random field 랜덤 필드^[*])은 기저 변수가 더 이상 단순한 실수 또는 정수값의 "시간"을 필요로 하지 않지만, 대신 다차원 벡터 또는 몇몇 다양체 상의 점들인 값들을 취하는 확률 과정의 일반화이다.

가장 기초적으로, 값들이 분산된 경우, 무작위장은 그 지표가 n 차원 공간으로 사상된 무작위 숫자들의 목록이다. 무작위장의 값들은 보통 공간적으로 한가지 또는 그 밖의 방법으로 상호 관련되어 있다. 가장 기초적인 형태에서, 이것은 아마도 밀접한 값들(즉, 밀접한 지표를 갖는 값)이 그들이 그 이상 떨어져 있는 값들만큼 구분되지 않는다는 것을 의미할 것이다. 무작위장에서 모델링된 많은 다양한 유형들인 공분산 구조의 예이다. 더욱 일반적으로, 그 값들은 연속적인 영역에 대해 정의되어있고, 무작위장은 아마도 함수화된 확률변수로서 생각될 수 있다.

정의

확률공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$가 주어졌을 때, $X$에 값을 갖는 무작위장 $F$는 각 위상 공간 $T$의 점에 대하여 X에 값을 갖는 확률변수 $F_{t}$을 대응시키는 함수이다.

$\{F_{t}:t\in T\}$

즉, 무작위장 F는 다음과 같은 각 $F_{t}$이 X-값 확률변수인 집합이다.

마르코프 무작위장, 기브스 무작위장, 조건부 무작위장, 가우스 무작위장 등의 여러 종류의 무작위장이 존재한다.

참고 문헌

• Besag, J. E. "Spatial Interaction and the Statistical Analysis of Lattice Systems", Journal of Royal Statistical Society: Series B 36, 2 (May 1974), 192-236.
• Adler, RJ & Taylor, Jonathan (2007). 《Random Fields and Geometry》. Springer. ISBN 978-0-387-48112-8.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
• Khoshnevisan (2002). 《Multiparameter Processes - An Introduction to Random Fields》. Springer. ISBN 0-387-95459-7.