미분 사상

매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수 φ : M → N가 있을 때, φ의 점 x ∈ M에서의 미분 사상(differential)은 x 부근에서 φ를 선형 근사한 것이다. 구체적으로 말해서, φ의 미분 사상이란 M의 x에서의 접공간을 N의 φ(x)에서의 접공간으로 보내는 선형 사상이다. 당김과 대응되는 개념으로, 밂(pushforward)이라고도 부른다.

만약 지도인 φ가 다양체 M의 모든 점을 다양체 N으로 운반한다면, φ의 밀어내기는 M의 모든 점에서 접공간의 벡터를 N의 모든 점에서 접공간으로 운반한다.

매끄러운 함수의 미분 사상

φ : M → N를 매끄러운 다양체 사이에서 정의된 매끄러운 함수라 정의하자. x ∈ M가 주어졌을 때, $T_{x}M$을 M의 x에서의 접공간, $T_{\varphi \left(x\right)}N$을 N의 φ(x)에서의 접공간이라 정의하자. 그러면 φ의 x에서의 미분 사상은 다음과 같은 선형 사상이다.

$\mathrm {d} \varphi _{x}:T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N\,$

만약 접공간을 γ(0) = x가 성립하는 곡선들 중 특정 성질을 만족하는 동치류로 정의했다면, 미분 사상은 다음과 같이 된다.

$\mathrm {d} \varphi _{x}(\gamma '(0))=(\varphi \circ \gamma )'(0).$

참고

• John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer Graduate Texts in Mathematics 218.
• Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See section 1.6.
• Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.

같이 보기

• 당김