고차 미분 연산자
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(단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수
A
=
⨁
i
∈
Z
A
i
{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}}
a
b
=
(
−
)
deg
a
deg
b
b
a
{\displaystyle ab=(-)^{\deg a\deg b}ba}
가 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자
L
a
b
=
a
b
{\displaystyle {\mathsf {L}}_{a}b=ab}
및 초괄호
[
a
,
b
}
=
a
b
−
(
−
)
deg
a
deg
b
b
a
{\displaystyle [a,b\}=ab-(-)^{\deg a\deg b}ba}
를 정의할 수 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 수 있다.
이 위의 연산자
D
:
A
∙
→
A
∙
k
{\displaystyle D\colon A_{\bullet }\to A_{\bullet _{k}}}
deg
D
=
k
{\displaystyle \deg D=k}
가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
영어 :
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
D
(
1
A
)
=
0
{\displaystyle D(1_{A})=0}
[
…
[
[
D
,
L
a
0
}
,
L
a
1
}
,
…
,
L
a
n
}
(
1
A
)
=
0
∀
a
0
,
…
,
a
k
∈
A
{\displaystyle [\dotso [[D,{\mathsf {L}}_{a_{0}}\},{\mathsf {L}}_{a_{1}}\},\dotsc ,{\mathsf {L}}_{a_{n}}\}(1_{A})=0\qquad \forall a_{0},\dotsc ,a_{k}\in A}
여기서 초괄호에서
deg
L
a
=
deg
a
{\displaystyle \deg {\mathsf {L}}_{a}=\deg a}
deg
D
=
k
{\displaystyle \deg D=k}
예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우
D
1
=
0
{\displaystyle D1=0}
인 것이다. 1차 미분 연산자는
0
=
[
[
D
,
L
a
}
,
L
b
}
1
=
D
(
a
b
)
−
(
−
)
k
deg
a
a
(
D
b
)
−
(
−
)
(
k
+
deg
a
)
deg
b
b
(
D
a
)
{\displaystyle 0=[[D,{\mathsf {L}}_{a}\},{\mathsf {L}}_{b}\}1=D(ab)-(-)^{k\deg a}a(Db)-(-)^{(k+\deg a)\deg b}b(Da)}
인 것이다. 즉,
D
(
a
b
)
=
(
D
a
)
b
+
(
−
)
k
deg
a
a
(
D
b
)
{\displaystyle D(ab)=(Da)b+(-)^{k\deg a}a(Db)}
이며, 이는 곱 규칙 이다.
홀수 등급 2차 미분 연산자
Δ
{\displaystyle \Delta }
Δ
(
a
b
c
)
−
Δ
(
a
b
)
c
−
(
−
1
)
deg
a
a
Δ
(
b
c
)
−
(
−
1
)
(
deg
a
+
1
)
deg
b
b
Δ
(
a
c
)
+
Δ
(
a
)
b
c
−
(
−
1
)
deg
a
a
Δ
(
b
)
c
+
(
−
1
)
deg
(
a
b
)
a
b
Δ
(
c
)
=
0
{\displaystyle \Delta (abc)-\Delta (ab)c-(-1)^{\deg a}a\Delta (bc)-(-1)^{(\deg a+1)\deg b}b\Delta (ac)+\Delta (a)bc-(-1)^{\deg a}a\Delta (b)c+(-1)^{\deg(ab)}ab\Delta (c)=0}
를 만족시킨다.
거스틴해버 괄호
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등급 가환 결합 대수
A
=
⨁
i
∈
Z
A
i
{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}}
및
A
{\displaystyle A}
사슬 복합체 구조
∂
:
A
∙
→
A
∙
−
1
{\displaystyle \partial \colon A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}}
∂
1
=
0
{\displaystyle \partial _{1}=0}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 수 있다.
Φ
n
+
1
(
a
0
,
a
1
,
…
,
a
n
)
=
[
[
⋯
[
[
∂
,
L
a
0
}
,
L
a
1
}
,
…
}
,
L
a
n
}
1
{\displaystyle \Phi ^{n+1}(a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n})=[[\dotsb [[\partial ,{\mathsf {L}}_{a_{0}}\},{\mathsf {L}}_{a_{1}}\},\dotsc \},{\mathsf {L}}_{a_{n}}\}1}
이를
n
+
1
{\displaystyle n+1}
거스틴해버 괄호 라고 한다. 예를 들어
Φ
0
(
)
=
0
{\displaystyle \Phi ^{0}()=0}
Φ
1
(
a
)
=
∂
a
{\displaystyle \Phi ^{1}(a)=\partial a}
Φ
2
(
a
,
b
)
=
∂
(
a
b
)
−
(
−
)
deg
a
a
∂
b
−
(
∂
a
)
b
{\displaystyle \Phi ^{2}(a,b)=\partial (ab)-(-)^{\deg a}a\partial b-(\partial a)b}
이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면,
(
A
,
Φ
∙
)
{\displaystyle (A,\Phi ^{\bullet })}
는 L∞-대수 를 이룬다.
물론, 만약
∂
{\displaystyle \partial }
n
{\displaystyle n}
Φ
1
,
…
,
Φ
n
{\displaystyle \Phi ^{1},\dotsc ,\Phi ^{n}}
바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 거스틴해버 괄호 영어 : Gerstenhaber bracket ) 또는 반괄호 (영어 : antibracket )
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
a
,
b
)
=
(
−
1
)
deg
a
Φ
2
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)=(-1)^{\deg a}\Phi ^{2}(a,b)}
이는 다음과 같은 성질들을 따른다.
(차수 −1)
deg
(
a
,
b
)
=
deg
a
+
deg
b
−
1
{\displaystyle \deg(a,b)=\deg a+\deg b-1}
(등급가환성)
(
a
,
b
)
=
−
(
−
1
)
(
deg
a
+
1
)
(
deg
b
+
1
)
(
b
,
a
)
{\displaystyle (a,b)=-(-1)^{(\deg a+1)(\deg b+1)}(b,a)}
(등급 야코비 항등식)
(
−
1
)
(
deg
a
+
1
)
(
deg
c
+
1
)
(
a
,
(
b
,
c
)
)
+
(
−
1
)
(
deg
b
+
1
)
(
deg
a
+
1
)
(
b
,
(
c
,
a
)
)
+
(
−
1
)
(
deg
c
+
1
)
(
deg
b
+
1
)
(
c
,
(
a
,
b
)
)
=
0
{\displaystyle (-1)^{(\deg a+1)(\deg c+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(\deg b+1)(\deg a+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(\deg c+1)(\deg b+1)}(c,(a,b))=0}
(등급 라이프니츠 규칙)
(
a
b
,
c
)
=
a
(
b
,
c
)
+
(
−
1
)
deg
a
deg
b
b
(
a
,
c
)
{\displaystyle (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{\deg a\deg b}b(a,c)}
바탈린-빌코비스키 대수
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바탈린-빌코비스키 대수
(
A
,
Δ
)
{\displaystyle (A,\Delta )}
[4] :§8
등급 가환 결합 대수
A
=
⨁
i
∈
Z
A
i
{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i}}
A
{\displaystyle A}
Δ
:
A
∙
→
A
∙
−
1
{\displaystyle \Delta \colon A_{\bullet }\to A_{\bullet -1}}
바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자 라고 한다. 게이지 이론의 양자화
편집
바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론 의 양자화 에 등장한다. 이 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다.
게이지 이론이 장
ϕ
i
{\displaystyle \phi ^{i}}
작용
S
0
(
ϕ
)
{\displaystyle S_{0}(\phi )}
δ
ϕ
i
=
R
α
1
i
ϵ
α
1
{\displaystyle \delta \phi ^{i}=R_{\alpha _{1}}^{i}\epsilon ^{\alpha _{1}}}
여기서
ϵ
i
1
{\displaystyle \epsilon ^{i_{1}}}
R
i
p
+
1
i
p
R
i
p
i
0
=
C
α
p
+
1
i
j
δ
S
0
δ
ϕ
j
0
{\displaystyle R_{i_{p+1}}^{i_{p}}R_{i_{p}}^{i_{0}}=C_{\alpha _{p+1}}^{ij}{\frac {\delta S_{0}}{\delta \phi ^{j_{0}}}}}
이다. 여기서
C
α
p
+
1
i
j
{\displaystyle C_{\alpha _{p+1}}^{ij}}
1차 게이지 변환
δ
ϕ
i
/
δ
ϵ
α
1
{\displaystyle \delta \phi ^{i}/\delta \epsilon ^{\alpha _{1}}}
2차 게이지 변환
δ
ϵ
α
1
/
δ
ϵ
α
2
{\displaystyle \delta \epsilon ^{\alpha _{1}}/\delta \epsilon ^{\alpha _{2}}}
3차 게이지 변환
δ
ϵ
α
2
/
δ
ϵ
α
3
{\displaystyle \delta \epsilon ^{\alpha _{2}}/\delta \epsilon ^{\alpha _{3}}}
등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다.
그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 각 (고차) 게이지 변환
δ
/
δ
ϵ
α
p
{\displaystyle \delta /\delta \epsilon ^{\alpha _{p}}}
c
α
p
{\displaystyle c^{\alpha _{p}}}
ϕ
i
{\displaystyle \phi ^{i}}
반대장 (反對場, 영어 : antifield )
ϕ
i
∗
{\displaystyle \phi _{i}^{*}}
c
α
p
∗
{\displaystyle c_{\alpha _{p}}^{*}}
유령수 (幽靈數, 영어 : ghost number )라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0,
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
g
{\displaystyle g}
−
g
−
1
{\displaystyle -g-1}
장
기호
통계
σ
(
Φ
A
)
{\displaystyle \sigma (\Phi ^{A})}
유령수
deg
Φ
A
{\displaystyle \deg \Phi ^{A}}
물리적 장
ϕ
i
{\displaystyle \phi ^{i}}
σ
(
ϕ
i
)
{\displaystyle \sigma (\phi ^{i})}
0
물리적 반대장
ϕ
i
∗
{\displaystyle \phi _{i}^{*}}
−
σ
(
ϕ
i
)
{\displaystyle -\sigma (\phi ^{i})}
−1
유령장
c
α
p
{\displaystyle c^{\alpha _{p}}}
−
σ
(
ϵ
α
p
)
{\displaystyle -\sigma (\epsilon ^{\alpha _{p}})}
초대칭 : +1)
p
{\displaystyle p}
유령 반대장
c
α
p
∗
{\displaystyle c_{\alpha _{p}}^{*}}
σ
(
ϵ
α
p
)
{\displaystyle \sigma (\epsilon ^{\alpha _{p}})}
−
p
−
1
{\displaystyle -p-1}
즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수 를 이룬다.
Δ 연산자와 거스틴해버 괄호
편집
모든 장들을 통칭해
Φ
A
=
(
ϕ
i
,
c
α
p
)
{\displaystyle \Phi ^{A}=(\phi ^{i},c^{\alpha _{p}})}
Φ
A
∗
=
(
ϕ
i
∗
,
c
α
p
∗
)
{\displaystyle \Phi _{A}^{*}=(\phi _{i}^{*},c_{\alpha _{p}}^{*})}
로 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 Δ 연산자를 정의할 수 있다.
Δ
=
(
−
1
)
σ
(
Φ
A
)
δ
L
δ
Φ
A
δ
L
δ
Φ
A
∗
{\displaystyle \Delta =(-1)^{\sigma (\Phi ^{A})}{\frac {\delta ^{L}}{\delta \Phi ^{A}}}{\frac {\delta ^{L}}{\delta \Phi _{A}^{*}}}}
또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다.
(
X
,
Y
)
=
δ
R
X
δ
Φ
A
δ
L
Y
δ
Φ
A
∗
−
δ
R
X
δ
Φ
A
∗
δ
L
Y
δ
Φ
A
.
{\displaystyle (X,Y)={\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi ^{A}}}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi _{A}^{*}}}-{\frac {\delta ^{R}X}{\delta \Phi _{A}^{*}}}{\frac {\delta ^{L}Y}{\delta \Phi ^{A}}}.}
이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서
δ
L
/
δ
Φ
A
{\displaystyle \delta ^{L}/\delta \Phi ^{A}}
δ
R
/
δ
Φ
A
{\displaystyle \delta ^{R}/\delta \Phi ^{A}}
고전 으뜸 방정식
편집
고전적 작용
S
0
(
ϕ
i
)
{\displaystyle S_{0}(\phi ^{i})}
S
=
S
0
+
S
1
+
S
2
+
…
{\displaystyle S=S_{0}+S_{1}+S_{2}+\dots }
여기서
S
p
{\displaystyle S_{p}}
p
{\displaystyle p}
S
{\displaystyle S}
deg
S
=
0
{\displaystyle \deg S=0}
이렇게 교정된 작용
S
{\displaystyle S}
고전 으뜸 방정식 (영어 : classical master equation )을 만족시킨다.
(
S
,
S
)
=
0
{\displaystyle (S,S)=0}
이로부터
S
{\displaystyle S}
BRST 대칭 은
δ
BRST
=
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle \delta _{\text{BRST}}=(S,\cdot )}
의 꼴이다. 이 경우 자동적으로
δ
BRST
S
=
(
S
,
S
)
=
0
{\displaystyle \delta _{\text{BRST}}S=(S,S)=0}
이 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다.
δ
BRST
2
=
0
{\displaystyle \delta _{\text{BRST}}^{2}=0}
H
p
(
δ
BRST
)
{\displaystyle H^{p}(\delta _{\text{BRST}})}
를 정의할 수 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지
H
0
(
δ
BRST
)
{\displaystyle H^{0}(\delta _{\text{BRST}})}
O
0
{\displaystyle O_{0}}
O
=
O
0
+
O
1
+
O
2
+
⋯
{\displaystyle O=O_{0}+O_{1}+O_{2}+\cdots }
δ
BRST
O
=
(
S
,
O
)
=
0
{\displaystyle \delta _{\text{BRST}}O=(S,O)=0}
게이지 고정
편집
유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자
ψ
{\displaystyle \psi }
게이지 고정 페르미온 (영어 : gauge-fixing fermion )이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다.[3] :§6 [5] :§6.1
Φ
A
∗
↦
δ
ψ
δ
Φ
A
{\displaystyle \Phi _{A}^{*}\mapsto {\frac {\delta \psi }{\delta \Phi ^{A}}}}
작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다.
게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 이 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장 들을 추가하여야 한다.[5] :§6.2
양자 으뜸 방정식
편집
양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분 의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건 은
Δ
S
=
0
{\displaystyle \Delta S=0}
이다.[3] :§6 양-밀스 이론 의 경우 이 조건이 성립한다.
만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수
ℏ
{\displaystyle \hbar }
S
=
S
^
(
0
)
{\displaystyle S={\hat {S}}^{(0)}}
S
^
=
S
^
(
0
)
+
ℏ
S
(
1
)
+
ℏ
2
S
(
2
)
+
⋯
{\displaystyle {\hat {S}}={\hat {S}}^{(0)}+\hbar S^{(1)}+\hbar ^{2}S^{(2)}+\cdots }
이다. 이에 대한 양자 으뜸 방정식 (영어 : quantum master equation )은
Δ
(
exp
(
i
S
^
/
ℏ
)
)
=
0
{\displaystyle \Delta (\exp(i{\hat {S}}/\hbar ))=0}
이다.[3] :§9 동치 이다.
(
S
^
,
S
^
)
=
2
i
ℏ
Δ
S
^
{\displaystyle ({\hat {S}},{\hat {S}})=2i\hbar \Delta {\hat {S}}}
이다. 이를 전개하면
(
S
^
(
0
)
,
S
^
(
0
)
)
=
0
{\displaystyle ({\hat {S}}^{(0)},{\hat {S}}^{(0)})=0}
(
S
^
(
0
)
,
S
^
(
1
)
)
=
i
Δ
S
^
(
0
)
{\displaystyle ({\hat {S}}^{(0)},{\hat {S}}^{(1)})=i\Delta {\hat {S}}^{(0)}}
(
S
^
(
0
)
,
S
^
(
2
)
)
+
1
2
(
S
^
(
1
)
,
S
^
(
1
)
)
=
i
Δ
S
^
(
1
)
{\displaystyle ({\hat {S}}^{(0)},{\hat {S}}^{(2)})+{\frac {1}{2}}({\hat {S}}^{(1)},{\hat {S}}^{(1)})=i\Delta {\hat {S}}^{(1)}}
등등의 일련의 식들을 얻는다. 이 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다.
피적분량
X
{\displaystyle X}
[5] :§6.1
∫
exp
(
i
S
/
ℏ
)
{\displaystyle \int \exp(iS/\hbar )}
를 고려하면 양자 으뜸 방정식
Δ
exp
(
i
S
/
ℏ
)
=
0
{\displaystyle \Delta \exp(iS/\hbar )=0}
이 만족되어야 함을 알 수 있다. 연산자
O
{\displaystyle O}
(
W
,
O
)
=
i
ℏ
Δ
O
{\displaystyle (W,O)=i\hbar \Delta O}
가 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리 와 유사하게 생각할 수 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간 ) 위에서,
exp
(
i
S
/
ℏ
)
{\displaystyle \exp(iS/\hbar )}
다중벡터 (multivector)로 생각하자. 경로 적분의 측도
D
Φ
{\displaystyle D\Phi }
D
Φ
exp
(
i
S
/
ℏ
)
{\displaystyle D\Phi \,\exp(iS/\hbar )}
외미분 은 바탈린-빌코비스키 연산자
Δ
{\displaystyle \Delta }
부분적분 에 따라, 임의의 부분공간
N
{\displaystyle N}
∫
N
Δ
X
=
0
{\displaystyle \int _{N}\Delta X=0}
이고, 또한 만약
Δ
Y
=
0
{\displaystyle \Delta Y=0}
∫
N
Y
{\displaystyle \int _{N}Y}
는
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
호몰로지류 에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는
D
Φ
O
exp
(
i
S
/
ℏ
)
{\displaystyle D\Phi \,O\exp(iS/\hbar )}
양-밀스 이론
편집
로런츠 지표는
μ
,
ν
,
…
{\displaystyle \mu ,\nu ,\dots }
a
,
b
,
…
{\displaystyle a,b,\dots }
비가환 양-밀스 이론 의 경우, 게이지장
A
μ
a
{\displaystyle A_{\mu }^{a}}
δ
A
μ
a
=
∂
μ
ϵ
a
+
g
f
a
b
c
A
μ
b
ϵ
c
{\displaystyle \delta A_{\mu }^{a}=\partial _{\mu }\epsilon ^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}\epsilon ^{c}}
따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장
c
a
{\displaystyle c^{a}}
ϕ
a
∗
{\displaystyle \phi _{a}^{*}}
c
a
∗
{\displaystyle c_{a}^{*}}
S
0
=
−
1
4
∫
d
d
x
F
2
{\displaystyle S_{0}=-{\frac {1}{4}}\int d^{d}x\,F^{2}}
에 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다.[5] :§5.2
S
=
S
0
+
∫
d
d
x
A
a
∗
μ
D
μ
c
a
+
1
2
∫
d
d
x
c
a
∗
f
a
b
c
c
b
c
c
{\displaystyle S=S_{0}+\int d^{d}x\,A_{a}^{*\mu }D_{\mu }c^{a}+{\frac {1}{2}}\int d^{d}x\,c_{a}^{*}f^{a}{}_{bc}c^{b}c^{c}}
게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온
c
¯
a
{\displaystyle {\bar {c}}_{a}}
b
a
{\displaystyle b_{a}}
[3] :§6
S
′
=
S
−
i
∫
d
d
x
c
¯
∗
a
b
a
{\displaystyle S'=S-i\int d^{d}x\,{\bar {c}}^{*a}b_{a}}
그렇다면 게이지 고정 페르미온
ψ
=
i
∫
d
d
x
c
¯
a
(
∂
μ
A
μ
a
+
ξ
b
a
/
2
)
{\displaystyle \psi =i\int d^{d}x\,{\bar {c}}_{a}\left(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)}
를 삽입한다. 여기서
ξ
{\displaystyle \xi }
S
=
∫
d
d
x
(
−
1
4
F
2
−
i
∂
μ
c
¯
a
D
μ
c
a
+
(
∂
μ
A
μ
a
+
ξ
b
a
/
2
)
b
a
)
{\displaystyle S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac {1}{4}}F^{2}-i\partial ^{\mu }{\bar {c}}_{a}D_{\mu }c^{a}+\left(\partial ^{\mu }A_{\mu }^{a}+\xi b^{a}/2\right)b_{a}\right)}
장
기호
통계
유령수
게이지 장
A
μ
a
{\displaystyle A_{\mu }^{a}}
+
0
게이지 반대장
A
a
∗
μ
{\displaystyle A_{a}^{*\mu }}
−
−1
유령장
c
a
{\displaystyle c^{a}}
−
1
유령 반대장
c
a
∗
{\displaystyle c_{a}^{*}}
+
−2
보조장
b
a
{\displaystyle b_{a}}
+
0
보조 반대장
b
a
∗
{\displaystyle b_{a}^{*}}
−
−1
보조 유령장
c
¯
a
{\displaystyle {\bar {c}}^{a}}
−
−1
보조 유령 반대장
c
¯
a
∗
{\displaystyle {\bar {c}}_{a}^{*}}
+
0
미분형식 전기역학
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p 차 미분형식 전기역학 의 경우, p 차 미분형식 게이지 퍼텐셜
A
(
p
)
{\displaystyle A^{(p)}}
δ
A
(
p
)
δ
ϵ
(
p
−
1
)
=
d
ϵ
(
p
−
1
)
{\displaystyle {\frac {\delta A^{(p)}}{\delta \epsilon ^{(p-1)}}}=d\epsilon ^{(p-1)}}
δ
ϵ
(
p
−
1
)
δ
ϵ
(
p
−
2
)
=
d
ϵ
(
p
−
2
)
{\displaystyle {\frac {\delta \epsilon ^{(p-1)}}{\delta \epsilon ^{(p-2)}}}=d\epsilon ^{(p-2)}}
⋮
δ
ϵ
(
1
)
δ
ϵ
(
0
)
=
d
ϵ
(
0
)
{\displaystyle {\frac {\delta \epsilon ^{(1)}}{\delta \epsilon ^{(0)}}}=d\epsilon ^{(0)}}
여기서
ϵ
(
k
)
{\displaystyle \epsilon ^{(k)}}
k
{\displaystyle k}
미분형식 이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다.
장
기호
통계
유령수
게이지 장
A
(
p
)
{\displaystyle A^{(p)}}
+
0
유령장
c
(
k
)
{\displaystyle c^{(k)}}
−
p −k
게이지 반대장
A
∗
(
p
)
{\displaystyle A^{*(p)}}
−
−1
유령 반대장
c
∗
(
k
)
{\displaystyle c^{*(k)}}
+
k −p −1
유령항을 추가한 작용은 다음과 같다.[5] :§5.5
S
=
∫
d
d
x
(
−
1
2
F
(
p
+
1
)
∧
∗
F
(
p
+
1
)
+
∗
A
∗
(
p
)
∧
d
c
(
p
−
1
)
+
∑
k
=
0
p
−
2
∗
c
∗
(
k
+
1
)
∧
d
c
(
k
)
)
{\displaystyle S=\int d^{d}x\,\left(-{\frac {1}{2}}F^{(p+1)}\wedge *F^{(p+1)}+*A^{*(p)}\wedge dc^{(p-1)}+\sum _{k=0}^{p-2}*c^{*(k+1)}\wedge dc^{(k)}\right)}
이고리 아니톨리예비치 바탈린(러시아어 : И́горь Анато́льевич Бата́лин )과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키(러시아어 : Григо́рий Александро́вич Вилковы́ский )가 초중력 을 양자화하기 위해 도입하였다.[6] [7] 끈 장론 등을 양자화하는 데 쓰였다.
같이 보기
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참고 문헌
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↑ Henneaux, Marc; Claudio Teitelboim (1992). 《Quantization of Gauge Systems》 (영어). Princeton University Press. ↑ Barnich, Glenn; Friedemann Brandt, Marc Henneaux (2000년 11월). “Local BRST cohomology in gauge theories”. 《Physics Reports》 (영어) 338 (5): 439–569. arXiv :hep-th/0002245 . Bibcode :2000PhR...338..439B . doi :10.1016/S0370-1573(00)00049-1 . MR 1792979 . ↑ 가 나 다 라 마 Fuster, Andrea; Marc Henneaux, Axel Maas (2005년 10월). “BRST-antifield quantization: a short review”. 《International Journal of Geometric Methods in Modern Physics》 (영어) 2 (5): 939–963. arXiv :hep-th/0506098 . Bibcode :2005hep.th....6098F . doi :10.1142/S0219887805000892 . ↑ 가 나 Fiorenza, Domenico (2004). “An introduction to the Batalin–Vilkovisky formalism” (영어). arXiv :math/0402057 . Bibcode :2004math......2057F . ↑ 가 나 다 라 마 바 Gomis, Joaquim; Jordi Paris, Stuart Samuel (1995년 8월). “Antibracket, antifields and gauge-theory quantization”. 《Physics Reports》 (영어) 259 (1): 1–145. arXiv :hep-th/9412228 . Bibcode :1995PhR...259....1G . doi :10.1016/0370-1573(94)00112-G . ↑ Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1981년 6월 4일). “Gauge algebra and quantization”. 《Physics Letters B》 (영어) 102 (1): 27–31. Bibcode :1981PhLB..102...27B . doi :10.1016/0370-2693(81)90205-7 . ↑ Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1983년 11월 15일). “Quantization of gauge theories with linearly dependent generators”. 《Physical Review D》 (영어) 28 (10): 2567–2582. Bibcode :1983PhRvD..28.2567B . doi :10.1103/PhysRevD.28.2567 . Batalin, I. A.; G. A. Vilkovisky (1984년 7월 15일). “Erratum: Quantization of gauge theories with linearly dependent generators”. 《Physical Review D》 (영어) 30 (2): 508–508. Bibcode :1984PhRvD..30..508B . doi :10.1103/PhysRevD.30.508 .
외부 링크
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