반직접곱

군론에서 반직접곱(半直接-, 영어: semidirect product) 또는 반직적(半直積)은 두 군의 곱집합에 군의 구조를 부여하는 한 방법이다. 두 군의 직접곱을 일반화한 개념이다.

정의

$N$과 $H$가 군이라고 하자. $\operatorname {Aut} (N)$이 $N$의 자기동형사상군이라고 하고, $\phi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)$이 군 준동형이라고 하자. 즉, $H$는 $\phi$를 통해 $N$ 위에 작용한다. 그렇다면 곱집합 $N\times H$에 다음과 같은 곱셈 연산을 정의하자.

$(n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})$

이 연산은 군의 공리를 만족한다는 것을 확인할 수 있다. 집합 $N\times H$에 이 연산을 가진 구조를 $N$과 $H$의 $\phi$를 통한 반직접곱 $N\rtimes _{\phi }H$라고 한다.

성질

$G=N\rtimes H$라고 하자. 이 경우 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to N\to G\to H\to 1$.

즉, $H=G/N$이다.

반면, 그 역은 성립하지 않는다. 일반적으로 짧은 완전열이 존재하더라도 이를 항상 반직접곱으로 나타낼 수 있지는 않다. 예를 들어

$1\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 1$

을 생각해 보자. $\operatorname {Aut} (\mathbb {Z} _{2})=1$이므로, 반직접곱 $\mathbb {Z} _{2}\rtimes \mathbb {Z} _{2}$은 항상 직접곱 $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$밖에 존재하지 않는다. 그러나 물론 $\mathbb {Z} _{4}\neq \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$이다.

충분 조건

슈어-차센하우스 정리(영어: Schur–Zassenhaus theorem)에 따르면, 만약 유한군 $G$ 및 정규 부분군 $N$이 주어졌고, 만약 $|N|$과 $|G/N|$이 서로소라면 (즉, $N$이 홀 부분군이라면), $G$는 $N$과 $G/N$의 반직접곱이다. 이는 이사이 슈어와 한스 차센하우스가 증명하였다.

같이 보기

• 분할 완전열
• 직접곱

외부 링크

• “Semi-direct product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Semidirect product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “반직접곱 (semidirect product)”. 《수학노트》.