확률론통계학에서 베이즈 정리(영어: Bayes’ theorem)는 두 확률 변수사전 확률사후 확률 사이의 관계를 나타내는 정리다. 베이즈 확률론 해석에 따르면 베이즈 정리는 사전확률로부터 사후확률을 구할 수 있다.[1]

베이즈 정리는 불확실성 하에서 의사결정문제를 수학적으로 다룰 때 중요하게 이용된다. 특히, 정보와 같이 눈에 보이지 않는 무형자산이 지닌 가치를 계산할 때 유용하게 사용된다. 전통적인 확률이 연역적 추론에 기반을 두고 있다면 베이즈 정리는 확률임에도 귀납적, 경험적인 추론을 사용한다.[2]

정의 편집

확률공간   속에서  가측 집합이라고 하고,  이라고 하자. 그렇다면, 베이즈 정리에 따라 다음이 성립한다.

 

각각의 항은 다음과 같은 의미를 갖는다.

  •  A사전 확률로, 아직 사건 B에 관한 어떠한 정보도 알지 못하는 것을 의미한다.
  •  B의 값이 주어진 경우에 대한 A사후 확률이다.
  •  A가 주어졌을 때 B조건부 확률이다.
  •   가 주어졌을 때  가능도이다.
  •  B사전 확률이며, 정규화 상수의 역할을 한다. 이 값은  를 이용하여 구할 수 있다.

이때  는 불확실성을 계산해야 하는 대상이며,  는 관측하여 값을 알아낼 수 있는 대상으로 생각한다면,  의 확률은  가 관측된 후  에서  로 변화하며, 베이즈 정리는 이 때의 변화를 계산하는 방법을 제공한다.

베이즈 정리 유도 편집

 

 


P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B∩A) = P(B|A)P(A)

A와 B가 독립시행일 경우 P(A∩B) = P(A)*P(B)


 

P(B) = P(B∩A)

= P(B∩A1) + P(B∩A2)

= P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2)


 

=  

=  

역사 편집

토머스 베이즈의 원고에 최초로 등장하였고, 이는 리처드 프라이스가 베이즈의 사후 1763년에 〈확률론의 한 문제에 대한 에세이〉(영어: An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances)라는 제목으로 출판하였다.[3] 이후 피에르시몽 라플라스는 같은 정리를 1774년에 재발견하였고 1812년에 수식화하였다.[4][5]

같이 보기 편집

참고 문헌 편집

  1. 《수리통계학 입문》 1판. 1995년 3월 10일. 12쪽. 
  2. 《통계수학》 1판. 세종출판사. 2003년 10월 10일. 25-26쪽. 
  3. Bayes, Thomas; 리처드 프라이스 (1763). “An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances. By the late Rev. Mr. Bayes, F. R. S. communicated by Mr. Price, in a letter to John Canton, A. M. F. R. S.” (PDF). 《Philosophical Transactions of the Royal Society of London》 (영어) 53: 370–418. doi:10.1098/rstl.1763.0053. 2011년 4월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 4월 23일에 확인함. 
  4. Laplace, Pierre-Simon (1774). “Mémoire sur la probabilité des causes par les événements”. 《Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris》 (프랑스어) 4: 621–656. 
  5. Laplace, Pierre-Simon (1785). “Mémoire sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres”. 《Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris》 (프랑스어): 423-467. 
  • Berger, James (1985). 《Statistical decision theory and Bayesian analysis》. Springer Series in Statistics (영어) Seco판. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96098-8. 
  • Bessière, Pierre; Mazer, E., Ahuacatzin, J-M, Mekhnacha, K. (2013). 《Bayesian programming》 (영어). CRC Press. ISBN 9781439880326. 
  • Bernardo, José M.; Adrian F. M. Smith (1994). 《Bayesian theory》 (영어). Wiley. ISBN 0-471-49464-X. 
  • Howson, C.; P. Urbach (2005). 《Scientific reasoning: the Bayesian approach》 (영어) 3판. Open Court Publishing Company. ISBN 978-0-8126-9578-6. 
  • Winkler, Robert L (2003). 《Introduction to Bayesian inference and decision》 (영어) 2판. Probabilistic. ISBN 0-9647938-4-9. 

외부 링크 편집