볼차노-바이어슈트라스 정리

해석학과 일반위상수학에서 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstraß定理, 영어: Bolzano–Weierstrass theorem)는 유클리드 공간에서 유계 닫힌집합과 점렬 콤팩트 공간의 개념이 일치한다는 정리이다.

특례

실수

실수 집합 $\mathbb {R}$에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, 실수 유계 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다.

실수에 대한 증명

이는 단조 부분 수열 정리 및 단조 수렴 정리를 사용하여 증명할 수 있다.

단조 부분 수열 정리에 따르면, 실수 수열은 항상 단조 부분 수열을 갖는다. 증명은 다음과 같다.

실수 수열 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 자연수의 성질 $\phi$를 다음과 같이 도입하자.

$\phi (n)\iff \forall m>n\colon x_{n}>x_{m}\qquad (\forall n\in \mathbb {N} )$

즉, $n$번째 항이 뒤에 오는 모든 항보다 크다는 성질이다.

만약 $\phi$를 만족하는 무한 개의 자연수

$n_{1}<n_{2}<n_{3}<\cdots$

가 존재한다면, $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$은 단조 부분 수열이다.

만약 $\phi$를 만족하는 자연수가 유한 개라면,

$n_{0}=\max\{n\in \mathbb {N} \colon \phi (n)\}+1$

라고 하였을 때, $\lnot \phi (n_{0})$이므로,

$x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}$

인 $n_{1}>n_{0}$이 존재한다. 마찬가지로,

$x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots$

인 $n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots$가 존재한다. 즉, $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$은 단조 부분 수열이다.

실수 유계 수열 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$에 대하여, 위 정리에 따라, 단조 부분 수열 $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$이 존재한다. 또한, 이는 동시에 유계 수열이므로, 단조 수렴 정리에 따라 수렴 수열이다. 즉, 실수 유계 수열은 항상 수렴 부분 수열을 갖는다.

유클리드 공간

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따르면, $\mathbb {R} ^{n}$ 속 유계 수열 $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$은 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, 유계 닫힌집합 $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$은 점렬 콤팩트 공간이다.

더 나아가, 유클리드 공간의 부분 집합 $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• $S$는 점렬 콤팩트 공간이다.
• $S$는 유계 닫힌집합이다.

유클리드 공간에 대한 증명

유클리드 공간에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리는 실수에 대한 정리로부터 유도할 수 있다.

(유계 닫힌집합 ⇒ 점렬 콤팩트 공간) 유계 닫힌집합 $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 속 수열

$(x_{k}=(x_{k,1},x_{k,2},\ldots ,x_{k,n}))_{k\in \mathbb {N} }$

에 대하여, $(x_{k,1})_{k\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R}$은 유계 수열이므로, 실수에 대한 정리에 따라, 수렴 부분 수열을 갖는다. 즉, $(y_{k,1})_{k\in \mathbb {N} }$이 수렴하게 되는, $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$의 부분 수열 $(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }$이 존재한다.

마찬가지로, $(z_{k,2})_{k\in \mathbb {N} }$이 수렴하게 되는, $(y_{k})_{k\in \mathbb {N} }$의 부분 수열 $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }$이 존재한다. 이때, $(z_{k,1})_{k\in \mathbb {N} }$ 역시 수렴한다.

이와 같이 반복하면, 임의의 $i\in \{1,2,\ldots ,n\}$에 대하여 $(w_{k,i})_{k\in \mathbb {N} }$이 수렴하게 되는, $(x_{k})_{k\in \mathbb {N} }$의 부분 수열 $(w_{k})_{k\in \mathbb {N} }$을 얻으며, 이는 물론 수렴 부분 수열이며, $S$가 닫힌집합이므로, 극한은 $S$의 원소이다.

(점렬 콤팩트 공간 ⇒ 유계 닫힌집합) 점렬 콤팩트 집합 $S\subseteq \mathbb {R}$이 유계가 아니라면,

$x_{0}\in S$

$x_{n+1}\in S\setminus B(x_{0},n)\setminus B(x_{0},d(x_{n},x_{0}))$

이도록 정의된 수열이 존재하며, 이는 수렴 부분 수열을 갖지 않으므로, 모순이 된다.

또한, $S$ 속의, $\mathbb {R} ^{n}$에서 수렴하는 수열에 대하여, $S$에서 수렴하는 부분 수열이 존재하며, 그 극한이 원래 수열의 것과 같으므로, 원래 수열도 $S$에서 수렴한다. 즉, $S$는 닫힌집합이다.

거리 공간에서의 실패

거리 공간에서, 점렬 콤팩트 공간은 항상 유계 닫힌집합이나, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수 집합 $\mathbb {Z}$에 이산 거리 함수를 주었을 때, 유계 집합이며 닫힌집합이지만, 그 속의 수열 $(1,2,3,\ldots )$은 수렴 부분 수열을 갖지 못한다.

역사

보헤미아의 베르나르트 볼차노와 독일의 카를 바이어슈트라스가 증명하였다.

같이 보기

• 실수의 완비성#볼차노-바이어슈트라스 정리
• 하이네-보렐 정리
• 콤팩트 공간#유클리드 공간의 콤팩트 집합

참고 문헌

• Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, 강수철 역, 《실해석학개론》, 범한서적주식회사, 2006.
• Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Bolzano-Weierstrass theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bolzano-Weierstrass theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.