사인-고든 방정식

수학 및 물리학에서 사인-고든 방정식(영어: sine–Gordon equation)은 솔리톤 해를 가지는 비선형 쌍곡 편미분 방정식으로, 적분가능계를 대표하는 예이다.

이 방정식은 단진자 운동 ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin \theta =0$을 2차원 시공간으로 확장한 것으로도 볼 수 있다.

역사와 어원

1862년에 에드몽 부르(프랑스어: Edmond Bour)가 최초로 연구하였다. 1939년에 야코프 프렌켈(러시아어: Яков Ильич Френкель)과 콘토로바(러시아어: Т. М. Конторова)가 재발견하였다.

"사인-고든"이라는 이름은 클라인-고든 방정식에 빗댄 말장난인데, 이는 사인고든 방정식이 클라인-고든 방정식 중 질량항을 사인 함수 모양 퍼텐셜로 바꾼 꼴이므로, "클라인"을 각운(脚韻)이 같은 "사인"으로 대체한 것이다.

정의

2차원 시공간 $(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}$에서, 사인-고든 방정식은 다음과 같다.

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+\sin \phi =0$

(※ $\phi =\phi (t,x)$를 뜻한다.)

이는 다음과 같은 라그랑지언 밀도로부터 유도할 수 있다.

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial \phi }{\partial t}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)^{2}\right]-1+\cos \phi$

즉, 퍼텐셜이

$V(\phi )=1-\cos \phi$

인 스칼라 장론이다.

공식

$\phi _{1}$이 사인고든방정식을 만족하는 답이면 아래 공식을 통해 또다른 답 $\phi _{2}$을 구할 수 있다.

${\frac {\partial \phi _{2}}{\partial t}}={\frac {\partial \phi _{1}}{\partial x}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi _{1}}{2}}\sin {\frac {\phi _{2}}{2}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi _{1}}{2}}\cos {\frac {\phi _{2}}{2}}$

${\frac {\partial \phi _{2}}{\partial x}}={\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t}}+\left(a+{\frac {1}{a}}\right)\cos {\frac {\phi _{1}}{2}}\sin {\frac {\phi _{2}}{2}}+\left(a-{\frac {1}{a}}\right)\sin {\frac {\phi _{1}}{2}}\cos {\frac {\phi _{2}}{2}}$

(※ a는 상수)

위 공식은 아래 식들을 통해 만들어진다.

$\left({\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi _{2}-\phi _{1})=2a\sin {\frac {\phi _{2}+\phi _{1}}{2}}$

$\left({\frac {\partial }{\partial x}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\right)(\phi _{2}+\phi _{1})={\frac {2}{a}}\sin {\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{2}}$

솔리톤 해

사인-고든 방정식은 다음과 같은 솔리톤 해를 갖는다.

$\phi (t,x)=4\arctan \exp \left({\frac {x-x_{0}-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}}\right)$

이는 속도 $v$로 움직이고, 초기 위치가 $x_{0}$인 솔리톤을 나타낸다.

1-솔리톤 풀이

${\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$일때는

${\frac {d^{2}\phi }{dx^{2}}}=\sin \phi$

이니, 양변에다 ${\frac {d\phi }{dx}}$를 곱한 뒤 적분하면

${\frac {1}{2}}\left({\frac {d\phi }{dx}}\right)^{2}=2m-(1+\cos \varphi )$

$=2\left(m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}\right)$

(※ m은 상수)

이 되어, 이걸 2로 나눠주면 사인고든 방정식이

$\left({\frac {d}{dx}}{\frac {\phi }{2}}\right)^{2}=m-\cos ^{2}{\frac {\phi }{2}}$

으로 바뀐다.

그다음 $\sin {\frac {\phi -\pi }{2}}=-\cos {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {m}}f$로 잡으면 $\sin {\frac {\phi }{2}}\times {\frac {d}{dx}}{\frac {\phi }{2}}={\sqrt {m}}{\frac {df}{dx}}$이니, 양변에 $\sin ^{2}{\frac {\phi }{2}}$를 곱하고 정리해보면 야코비 타원함수 sn에 대한 방정식

$\left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-mf^{2})$

이 나와

$f(x)=\operatorname {sn} (x,m)$

임을 알수있고 이걸 아까 바꾸는 식에다 넣고 정리하면

$\phi (x)=\pi +2\arcsin {\sqrt {m}}\operatorname {sn} (x,m)$

이 된다.

이 식에서 m=1로 놓고 정리한 뒤 로런츠 변환을 시키면 위에서 말한 식이 나온다.

양자화

사인-고든 모형은 양자화할 수 있다. 양자화하면 플랑크 상수에 해당하는 매개변수가 하나 더 추가되며, 이에 따라서 입자 스펙트럼이 달라진다. 이 모형의 산란 행렬은 해석적으로 계산 가능하며, 이는 티링 모형과 S-이중성을 통해 동형이다.

참고 문헌

• Sutcliffe, Paul M. (1993년 3월 22일). “Classical and quantum kink scattering”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 393 (1–2): 211–224. Bibcode:1993NuPhB.393..211S. doi:10.1016/0550-3213(93)90243-I. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Sine-Gordon equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “사인-고든 방정식”. 《수학노트》.