수학 에서 삼각함수 항등식 (三角函數恒等式, 영어 : trigonometric identity )은 삼각함수 가 나오는 항등식 을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분 에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.
참고로 아래에서
sin
2
{\displaystyle \sin ^{2}}
,
cos
2
{\displaystyle \cos ^{2}}
등의 함수는
sin
2
x
=
(
sin
x
)
2
{\displaystyle \sin ^{2}{x}=(\sin {x})^{2}}
와 같이 정의된다.
삼각함수의 정의에서
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cos
x
=
sin
(
x
+
π
2
)
{\displaystyle \cos {x}=\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)}
tan
x
=
sin
x
cos
x
cot
x
=
cos
x
sin
x
=
1
tan
x
{\displaystyle \tan {x}={\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {cot} {x}={\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}={\frac {1}{\tan {x}}}}
sec
x
=
1
cos
x
csc
x
=
1
sin
x
{\displaystyle \operatorname {sec} {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \operatorname {csc} {x}={\frac {1}{\sin {x}}}}
주기성, 대칭성, 이동(Shifts)
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다음 관계는 단위원 을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
다음 식은 삼각함수 의 주기성을 나타낸다.
sin
x
=
sin
(
x
+
2
k
π
)
cos
x
=
cos
(
x
+
2
k
π
)
tan
x
=
tan
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle \sin {x}=\sin(x+2k\pi )\qquad \cos {x}=\cos(x+2k\pi )\qquad \tan {x}=\tan(x+k\pi )}
sec
x
=
sec
(
x
+
2
k
π
)
csc
x
=
csc
(
x
+
2
k
π
)
cot
x
=
cot
(
x
+
k
π
)
{\displaystyle \sec {x}=\sec(x+2k\pi )\qquad \csc {x}=\csc(x+2k\pi )\qquad \cot {x}=\cot(x+k\pi )}
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
−
s
i
n
θ
,
c
o
s
θ
{\displaystyle -sin\theta ,cos\theta }
sin
(
−
x
)
=
−
sin
x
,
sin
(
π
2
−
x
)
=
cos
x
,
sin
(
π
−
x
)
=
sin
x
cos
(
−
x
)
=
cos
x
,
cos
(
π
2
−
x
)
=
sin
x
,
cos
(
π
−
x
)
=
−
cos
x
tan
(
−
x
)
=
−
tan
x
,
tan
(
π
2
−
x
)
=
cot
x
,
tan
(
π
−
x
)
=
−
tan
x
cot
(
−
x
)
=
−
cot
x
,
cot
(
π
2
−
x
)
=
tan
x
,
cot
(
π
−
x
)
=
−
cot
x
sec
(
−
x
)
=
sec
x
,
sec
(
π
2
−
x
)
=
csc
x
,
sec
(
π
−
x
)
=
−
sec
x
csc
(
−
x
)
=
−
csc
x
,
csc
(
π
2
−
x
)
=
sec
x
,
csc
(
π
−
x
)
=
csc
x
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin(-x)=-\sin {x},&&\sin \left({\pi \over 2}-x\right)=\cos {x},&&\sin \left(\pi -x\right)=\;\;\sin {x}\\\cos(-x)=\;\;\cos {x},&&\cos \left({\pi \over 2}-x\right)=\sin {x},&&\cos \left(\pi -x\right)=-\cos {x}\\\tan(-x)=-\tan {x},&&\tan \left({\pi \over 2}-x\right)=\cot {x},&&\tan \left(\pi -x\right)=-\tan {x}\\\cot(-x)=-\cot {x},&&\cot \left({\pi \over 2}-x\right)=\tan {x},&&\cot \left(\pi -x\right)=-\cot {x}\\\sec(-x)=\;\;\sec {x},&&\sec \left({\pi \over 2}-x\right)=\csc {x},&&\sec \left(\pi -x\right)=-\sec {x}\\\csc(-x)=-\csc {x},&&\csc \left({\pi \over 2}-x\right)=\sec {x},&&\csc \left(\pi -x\right)=\;\;\csc {x}\end{matrix}}}
다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.
sin
(
x
+
π
2
)
=
cos
x
,
sin
(
x
+
π
)
=
−
sin
x
cos
(
x
+
π
2
)
=
−
sin
x
,
cos
(
x
+
π
)
=
−
cos
x
tan
(
x
+
π
2
)
=
−
cot
x
,
tan
(
x
+
π
)
=
tan
x
cot
(
x
+
π
2
)
=
−
tan
x
,
cot
(
x
+
π
)
=
cot
x
sec
(
x
+
π
2
)
=
−
csc
x
,
sec
(
x
+
π
)
=
−
sec
x
csc
(
x
+
π
2
)
=
sec
x
,
csc
(
x
+
π
)
=
−
csc
x
{\displaystyle {\begin{matrix}\sin \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\cos {x},&&\sin \left(x+\pi \right)=-\sin {x}\\\cos \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\sin {x},&&\cos \left(x+\pi \right)=-\cos {x}\\\tan \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\cot {x},&&\tan \left(x+\pi \right)=\;\;\tan {x}\\\cot \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\tan {x},&&\cot \left(x+\pi \right)=\;\;\cot {x}\\\sec \left(x+{\pi \over 2}\right)=-\csc {x},&&\sec \left(x+\pi \right)=-\sec {x}\\\csc \left(x+{\pi \over 2}\right)=\;\;\sec {x},&&\csc \left(x+\pi \right)=-\csc {x}\end{matrix}}}
또한, 주기 가 같지만, 상 (phase)이 다른 사인파들의 선형결합 은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.
a
sin
x
+
b
cos
x
=
a
2
+
b
2
⋅
sin
(
x
+
φ
)
{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )}
여기서
φ
=
{
arctan
b
a
,
if
a
≥
0
arctan
b
a
±
π
,
if
a
<
0
{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}},&{\mbox{if }}a\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}\pm \pi ,&{\mbox{if }}a<0\end{cases}}}
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
tan
2
x
+
1
=
sec
2
x
cot
2
x
+
1
=
csc
2
x
{\displaystyle \sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}=1\qquad \tan ^{2}{x}+1=\sec ^{2}{x}\qquad \cot ^{2}{x}+1=\csc ^{2}{x}}
덧셈 정리
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다음의 삼각함수의 덧셈정리 를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식 을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.
sin
(
x
±
y
)
=
sin
x
cos
y
±
cos
x
sin
y
{\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin {x}\cos {y}\pm \cos {x}\sin {y}\,}
cos
(
x
±
y
)
=
cos
x
cos
y
∓
sin
x
sin
y
{\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos {x}\cos {y}\mp \sin {x}\sin {y}\,}
(좌변에 "+" 기호가 있는 경우, 우변에는 "−" 기호를 사용함. 복부호 동순임)
tan
(
x
±
y
)
=
tan
x
±
tan
y
1
∓
tan
x
tan
y
{\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\tan {x}\pm \tan {y}}{1\mp \tan {x}\tan {y}}}}
cot
(
x
±
y
)
=
cot
y
cot
x
∓
1
cot
y
±
cot
x
{\displaystyle \cot(x\pm y)={\frac {\cot {y}\cot {x}\mp 1}{\cot {y}\pm \cot {x}}}}
c
ı
˙
s
(
x
+
y
)
=
c
ı
˙
s
x
c
ı
˙
s
y
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x+y)={\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}\,{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}
c
ı
˙
s
(
x
−
y
)
=
c
ı
˙
s
x
c
ı
˙
s
y
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}(x-y)={{\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x} \over {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{y}}}
여기서
c
ı
˙
s
x
=
exp
(
i
x
)
=
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle {\rm {c{\dot {\imath }}s}}{x}=\exp(ix)=e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x}\,}
i
2
=
−
1.
{\displaystyle i^{2}=-1.\,}
두배각 공식
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다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서
x
=
y
{\displaystyle x=y}
로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식 에서
n
=
2
{\displaystyle n=2}
로 놓아도 된다.
sin
2
x
=
2
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin {2x}=2\sin {x}\cos {x}\,}
cos
2
x
=
cos
2
x
−
sin
2
x
=
2
cos
2
x
−
1
=
1
−
2
sin
2
x
=
1
−
tan
2
x
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \cos {2x}=\cos ^{2}{x}-\sin ^{2}{x}=2\cos ^{2}{x}-1=1-2\sin ^{2}{x}={\frac {1-\tan ^{2}{x}}{1+\tan ^{2}{x}}}\,}
tan
2
x
=
2
tan
x
1
−
tan
2
x
{\displaystyle \tan {2x}={\frac {2\tan {x}}{1-\tan ^{2}{x}}}}
tan
2
x
−
1
tan
x
=
−
2
tan
2
x
{\displaystyle {\frac {\tan ^{2}{x}-1}{\tan {x}}}={\frac {-2}{\tan {2x}}}}
cot
2
x
=
cot
2
x
−
1
2
cot
x
{\displaystyle \cot {2x}={\frac {\cot ^{2}{x}-1}{2\cot {x}}}}
세배각 공식
편집
아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.
sin
3
x
=
3
sin
x
−
4
sin
3
x
{\displaystyle \sin {3x}=3\sin {x}-4\sin ^{3}{x}\,}
cos
3
x
=
4
cos
3
x
−
3
cos
x
{\displaystyle \cos {3x}=4\cos ^{3}{x}-3\cos {x}\,}
tan
3
x
=
3
tan
x
−
tan
3
x
1
−
3
tan
2
x
{\displaystyle \tan {3x}={\frac {3\tan {x}-\tan ^{3}{x}}{1-3\tan ^{2}{x}}}}
네배각 공식
편집
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.
sin
4
x
=
4
sin
x
cos
x
−
8
sin
3
x
cos
x
{\displaystyle \sin {4x}=4\sin {x}\cos {x}-8\sin ^{3}{x}\cos {x}}
cos
4
x
=
8
cos
4
x
−
8
cos
2
x
+
1
{\displaystyle \cos {4x}=8\cos ^{4}{x}-8\cos ^{2}{x}+1}
tan
4
x
=
4
tan
x
−
4
tan
3
x
1
−
6
tan
2
x
+
tan
4
x
{\displaystyle \tan {4x}={\frac {4\tan {x}-4\tan ^{3}{x}}{1-6\tan ^{2}{x}+\tan ^{4}{x}}}}
다섯배각 공식
편집
sin
5
x
=
5
sin
x
−
20
sin
3
x
+
16
sin
5
x
{\displaystyle \sin {5x}=5\sin {x}-20\sin ^{3}{x}+16\sin ^{5}{x}}
cos
5
x
=
5
cos
x
−
20
cos
3
x
+
16
cos
5
x
{\displaystyle \cos {5x}=5\cos {x}-20\cos ^{3}{x}+16\cos ^{5}{x}}
tan
5
x
=
tan
5
x
−
10
tan
3
x
+
5
tan
x
1
−
10
tan
2
x
+
5
tan
4
x
{\displaystyle \tan {5x}={\frac {\tan ^{5}{x}-10\tan ^{3}{x}+5\tan {x}}{1-10\tan ^{2}{x}+5\tan ^{4}{x}}}}
여섯배각 공식
편집
sin
6
x
=
6
sin
x
cos
x
−
32
sin
3
x
cos
3
x
{\displaystyle \sin {6x}=6\sin {x}\cos {x}-32\sin ^{3}{x}\cos ^{3}{x}}
cos
6
x
=
32
cos
6
x
−
48
cos
4
x
+
18
cos
2
x
−
1
{\displaystyle \cos {6x}=32\cos ^{6}{x}-48\cos ^{4}{x}+18\cos ^{2}{x}-1}
n배각 공식
편집
T
n
{\displaystyle T_{n}}
이
n
{\displaystyle n}
번째 체비쇼프 다항식 일 때,
cos
n
x
=
T
n
(
cos
x
)
{\displaystyle \cos {nx}=T_{n}(\cos {x})}
드무아브르의 공식 :
cos
n
x
+
i
sin
n
x
=
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
{\displaystyle \cos {nx}+i\sin {nx}=(\cos {x}+i\sin {x})^{n}}
디리클레 핵
D
n
(
x
)
{\displaystyle D_{n}(x)}
은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :
1
+
2
cos
x
+
2
cos
2
x
+
2
cos
3
x
+
⋯
+
2
cos
n
x
=
sin
(
n
+
1
2
)
x
sin
x
2
{\displaystyle 1+2\cos {x}+2\cos {2x}+2\cos {3x}+\cdots +2\cos {nx}={\frac {\sin {\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x}}{\sin {x \over 2}}}}
디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.
차수 줄이기
편집
곱을 합으로 바꾸는 공식
편집
합을 곱으로 바꾸는 공식
편집
삼각함수의 역함수
편집
역삼각함수 라고도 한다.
x
>
0
{\displaystyle x>0}
이면
arctan
x
+
arccot
x
=
π
2
.
{\displaystyle \arctan {x}+\operatorname {arccot} {x}={\frac {\pi }{2}}.}
만약
x
<
0
{\displaystyle x<0}
이면, 등식 우변이
−
π
2
{\displaystyle \textstyle -{\frac {\pi }{2}}}
가 된다.
arctan
x
+
arctan
y
=
arctan
(
x
+
y
1
−
x
y
)
{\displaystyle \arctan {x}+\arctan {y}=\arctan \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}
피타고라스 정리로부터 다음과 같은 몇 가지 항등식을 얻는다.
cos
(
arcsin
x
)
=
1
−
x
2
{\displaystyle \cos(\arcsin {x})={\sqrt {1-x^{2}}}}
변수 없는 항등식
편집
리처드 파인만 은 소년 시절에 다음의 기묘한 식을 배우고 언제나 기억했다고 알려져 있다.
cos
20
∘
⋅
cos
40
∘
⋅
cos
80
∘
=
1
8
{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}}
그러나, 이 식은 다음의 변수를 포함한 일반적인 식의 특수한 경우이다. (
x
=
20
∘
,
k
=
3
{\displaystyle \scriptstyle x=20^{\circ },k=3}
을 넣고,
sin
x
=
sin
(
180
∘
−
x
)
{\displaystyle \scriptstyle \sin x=\sin(180^{\circ }-x)}
를 이용 우변을 정리한다.)
∏
j
=
0
k
−
1
cos
(
2
j
x
)
=
sin
(
2
k
x
)
2
k
sin
x
{\displaystyle \prod _{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin {x}}}}
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.
cos
36
∘
+
cos
108
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}}}
cos
24
∘
+
cos
48
∘
+
cos
96
∘
+
cos
168
∘
=
1
2
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}}
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.
cos
2
π
21
+
cos
2
(
2
π
)
21
+
cos
4
(
2
π
)
21
+
cos
5
(
2
π
)
21
+
cos
8
(
2
π
)
21
+
cos
10
(
2
π
)
21
=
1
2
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{21}}+\cos {\frac {2(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {4(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {5(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {8(2\pi )}{21}}+\cos {\frac {10(2\pi )}{21}}={\frac {1}{2}}}
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 21 ⁄2 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식 (cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수 값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
미적분학
편집
참고 문헌
편집
Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables , New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-61272-0