미분기하학 에서, 스하우턴-네이엔하위스 괄호 (영어 : Schouten–Nijenhuis bracket )는 완전 반대칭 텐서장 에 대하여 정의되는 이항 쌍선형 연산이다.[1] 거스틴해버 대수 를 이룬다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
(
k
,
0
)
{\displaystyle (k,0)}
V
k
=
Γ
(
⋀
k
T
M
)
{\displaystyle V^{k}=\Gamma \left(\bigwedge ^{k}\mathrm {T} M\right)}
을 생각하자. 이 위에는 올별 쐐기곱
(
∧
)
:
V
k
⊗
V
l
→
V
k
+
l
{\displaystyle (\wedge )\colon V^{k}\otimes V^{l}\to V^{k+l}}
이 존재하며, 이에 따라서
V
=
⨁
k
=
0
dim
M
V
k
{\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{k=0}^{\dim M}V^{k}}
이 위의 스하우턴-네이엔하위스 괄호 는 다음과 같은 연산이다.
[
−
,
−
]
:
V
m
⊗
R
V
n
→
V
m
+
n
−
1
{\displaystyle [-,-]\colon V^{m}\otimes _{\mathbb {R} }V^{n}\to V^{m+n-1}}
이는 공리적으로 다음과 같이 정의된다.
[
X
,
−
]
=
L
X
∀
X
∈
V
1
{\displaystyle [X,-]={\mathcal {L}}_{X}\qquad \forall X\in V^{1}}
[
f
,
g
]
=
0
∀
f
,
g
∈
V
0
{\displaystyle [f,g]=0\qquad \forall f,g\in V^{0}}
[
α
,
β
∧
γ
]
=
[
α
,
β
]
∧
γ
+
(
−
)
deg
β
(
deg
α
−
1
)
β
[
α
,
γ
]
∀
α
,
β
,
γ
{\displaystyle [\alpha ,\beta \wedge \gamma ]=[\alpha ,\beta ]\wedge \gamma +(-)^{\deg \beta (\deg \alpha -1)}\beta [\alpha ,\gamma ]\qquad \forall \alpha ,\beta ,\gamma }
[
α
,
β
]
=
(
−
)
1
+
(
deg
α
−
1
)
(
deg
β
−
1
)
[
β
,
α
]
{\displaystyle [\alpha ,\beta ]=(-)^{1+(\deg \alpha -1)(\deg \beta -1)}[\beta ,\alpha ]}
이에 따라,
Γ
(
⋀
T
M
)
{\displaystyle \Gamma \left(\bigwedge \mathrm {T} M\right)}
는 쐐기곱 과 스하우턴-네이엔하위스 괄호를 통해 거스틴해버 대수 를 이룬다.
거스틴해버 대수 의 성질에 따라, 초벡터 공간
g
0
=
Γ
(
⨁
i
⋀
2
i
+
1
T
M
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}=\Gamma \left(\bigoplus _{i}\bigwedge ^{2i+1}\mathrm {T} M\right)}
g
1
=
Γ
(
⨁
i
⋀
2
i
T
M
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}=\Gamma \left(\bigoplus _{i}\bigwedge ^{2i}\mathrm {T} M\right)}
g
=
g
0
⊕
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}}
위에서 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 리 초대수 를 정의한다. (※원소의 홀짝성이 등급과 반대이다.) 즉, 다음과 같은 초 야코비 항등식이 성립한다.
(
−
)
(
deg
a
−
1
)
(
deg
c
−
1
)
[
a
,
[
b
,
c
]
]
+
(
−
)
(
deg
b
−
1
)
(
deg
a
−
1
)
[
b
,
[
c
,
a
]
]
+
(
−
)
(
deg
c
−
1
)
(
deg
b
−
1
)
[
c
,
[
a
,
b
]
]
=
0
{\displaystyle (-)^{(\deg a-1)(\deg c-1)}[a,[b,c]]+(-)^{(\deg b-1)(\deg a-1)}[b,[c,a]]+(-)^{(\deg c-1)(\deg b-1)}[c,[a,b]]=0}
푸아송 다양체
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푸아송 다양체
(
M
,
π
)
{\displaystyle (M,\pi )}
[
π
,
π
]
=
0
{\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}
[
π
,
−
]
{\displaystyle [\pi ,-]}
공사슬 복합체 의 코호몰로지를 푸아송 코호몰로지
구체적으로, 낮은 차수의 스하우턴-네이엔하위스 괄호는 다음과 같다.
차수
(
deg
X
,
deg
Y
)
{\displaystyle (\deg X,\deg Y)}
대칭성
스하우턴-네이엔하위스 괄호
[
X
,
Y
]
{\displaystyle [X,Y]}
비고
(0,0)
대칭
0
{\displaystyle 0}
상수 함수
(0,1)
반대칭
[
X
,
Y
]
=
−
(
∂
i
X
)
Y
i
{\displaystyle [X,Y]=-(\partial _{i}X)Y^{i}}
스칼라장의 벡터장 방향 미분
(1,1)
반대칭
[
X
,
Y
]
i
=
X
l
∂
l
Y
i
−
(
∂
l
X
i
)
Y
l
{\displaystyle [X,Y]^{i}=X^{l}\partial _{l}Y^{i}-(\partial _{l}X^{i})Y^{l}}
벡터장의 리 미분
(0,2)
대칭
[
X
,
Y
]
i
=
−
(
∂
l
X
)
Y
l
i
{\displaystyle [X,Y]^{i}=-(\partial _{l}X)Y^{li}}
스칼라장의 기울기 와의 내부곱
(1,2)
반대칭
[
X
,
Y
]
i
j
=
X
l
∂
l
Y
i
j
−
(
∂
l
X
i
)
Y
l
j
−
(
∂
l
X
j
)
Y
i
l
{\displaystyle [X,Y]^{ij}=X^{l}\partial _{l}Y^{ij}-(\partial _{l}X^{i})Y^{lj}-(\partial _{l}X^{j})Y^{il}}
텐서장의 리 미분
(2,2)
대칭
[
X
,
Y
]
i
j
k
=
X
l
k
∂
l
Y
i
j
+
X
l
i
∂
l
Y
j
k
+
X
l
j
∂
l
Y
k
i
+
(
∂
l
X
k
i
)
Y
l
j
+
(
∂
l
X
i
j
)
Y
l
k
+
(
∂
l
X
j
k
)
Y
l
i
{\displaystyle [X,Y]^{ijk}=X^{lk}\partial _{l}Y^{ij}+X^{li}\partial _{l}Y^{jk}+X^{lj}\partial _{l}Y^{ki}+(\partial _{l}X^{ki})Y^{lj}+(\partial _{l}X^{ij})Y^{lk}+(\partial _{l}X^{jk})Y^{li}}
얀 아르놀뒤스 스하우턴(네덜란드어 : Jan Arnoldus Schouten )[2] [3] 네덜란드어 : Albert Nijenhuis )[4]
참고 문헌
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↑ Grabowski, Janusz. “Brackets” (영어). arXiv :1301.0227 . ↑ Schouten, Jan Arnoldus (1940). “Ueber Differentialkomitanten zweier kontravarianter Grössen” (PDF) . 《Indagationes Mathematicae》 (독일어) 2 : 449–452. ↑ Schouten, Jan Arnoldus (1953). 〈On the differential operators of the first order in tensor calculus〉. 《Convegno internazionale di geometria differenziale, Italia, 20–26 settembre 1953》 (영어). Edizioni Cremonese. 1–7쪽. ↑ Nijenhuis, Albert (1955). “Jacobi-type identities for bilinear differential concomitants of certain tensor fields Ⅰ”. 《Indagationes Mathematicae》 (영어) 17 : 390–403. doi :10.1016/S1385-7258(55)50054-0 .
외부 링크
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![{\displaystyle [-,-]\colon V^{m}\otimes _{\mathbb {R} }V^{n}\to V^{m+n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e1b888bfbb1884a3a75101ee16ebae814446bb)
![{\displaystyle [X,-]={\mathcal {L}}_{X}\qquad \forall X\in V^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9723e6ff18ca1bc01e2b765fd0cfb88a9de0ccf1)
![{\displaystyle [f,g]=0\qquad \forall f,g\in V^{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/884db60f488a1e539c570b8e41b30107c6aaf821)
![{\displaystyle [\alpha ,\beta \wedge \gamma ]=[\alpha ,\beta ]\wedge \gamma +(-)^{\deg \beta (\deg \alpha -1)}\beta [\alpha ,\gamma ]\qquad \forall \alpha ,\beta ,\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecc48d7f1335a98e2ce0c15d57a5a15efdd39cf1)
![{\displaystyle [\alpha ,\beta ]=(-)^{1+(\deg \alpha -1)(\deg \beta -1)}[\beta ,\alpha ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6993408abef2a0bc14169d2cb45b28b1e26f00c9)
![{\displaystyle (-)^{(\deg a-1)(\deg c-1)}[a,[b,c]]+(-)^{(\deg b-1)(\deg a-1)}[b,[c,a]]+(-)^{(\deg c-1)(\deg b-1)}[c,[a,b]]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9afed463d0290ac0127aa12ae11559bab8f902db)
이 부분의 본문은 푸아송 다양체입니다.
![{\displaystyle [\pi ,\pi ]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80982e01f560e992406c927f1bf943986e7cffb9)
![{\displaystyle [\pi ,-]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32ed333ac73417bc2810f9d76519df0013dc6ea7)
![{\displaystyle [X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94470b44d283fde62130212956058ca6b727da37)
![{\displaystyle [X,Y]=-(\partial _{i}X)Y^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f5751381abf2d3fedcf410bea7f8a102b94fb7)
![{\displaystyle [X,Y]^{i}=X^{l}\partial _{l}Y^{i}-(\partial _{l}X^{i})Y^{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ceb85c2938631eecc2894112ffb583f2d4265c)
![{\displaystyle [X,Y]^{i}=-(\partial _{l}X)Y^{li}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd89f36c8473dfe0439d3314e671f71e68fc84cf)
![{\displaystyle [X,Y]^{ij}=X^{l}\partial _{l}Y^{ij}-(\partial _{l}X^{i})Y^{lj}-(\partial _{l}X^{j})Y^{il}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5ab82b066e5858a9ff76ca170def75b22b53983)
![{\displaystyle [X,Y]^{ijk}=X^{lk}\partial _{l}Y^{ij}+X^{li}\partial _{l}Y^{jk}+X^{lj}\partial _{l}Y^{ki}+(\partial _{l}X^{ki})Y^{lj}+(\partial _{l}X^{ij})Y^{lk}+(\partial _{l}X^{jk})Y^{li}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80bc6efd83e1dc5f8b3aa70b3b05965c2639da6f)