아이젠슈타인 판정법

대수학에서 아이젠슈타인 판정법(-判定法, 영어: Eisenstein’s criterion)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분조건을 제시하는 정리이다. 고트홀트 아이젠슈타인의 이름을 땄다.

정의

유일 인수 분해 정역 $R$에서 계수를 취하는 $n\geq 1$차 다항식

$f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]$

가 주어졌다고 하자. 또한, 다음 세 조건을 만족시키는 기약원 $p\in R$가 존재한다고 하자.

$p\nmid r_{n}$

$p\mid r_{0},\dots ,r_{n-1}$

$p^{2}\nmid r_{0}$

아이젠슈타인 판정법에 따르면, $f(x)$는 분수체 $\operatorname {Frac} R$의 다항식환 $(\operatorname {Frac} R)[x]$ 속에서 기약 다항식이다. 즉, $f(x)$는 더 낮은 차수의 두 $R$ 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 $f(x)$가 원시 다항식이라면, $f(x)$는 $R[x]$에서 기약 다항식이다.^{:183, §IV.3, Theorem 3.1:144, §III.10, Proposition 10.9}

보다 일반적으로, 정역 $R$에서 계수를 취하는 $n\geq 1$차 다항식

$f(x)=r_{n}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+\cdots +r_{0}\in R[x]$

가 주어졌고, 다음을 만족시키는 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}\subsetneq R$가 존재한다고 하자.

$r_{n}\not \in {\mathfrak {p}}$

$r_{0},\dots ,r_{n-1}\in {\mathfrak {p}}$

$r_{0}\not \in \{rs\colon r,s\in {\mathfrak {p}}\}$

그렇다면, $f(x)$는 더 낮은 차수의 두 $R$ 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 추가로 $f(x)$의 계수의 공약수가 가역원밖에 없다면, $f(x)$는 $R[x]$에서 기약 다항식이다.^{:145, §III.10, Exercise 14}

증명

귀류법을 사용하여, $f(x)$가 $(\operatorname {Frac} R)[x]$의 기약 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면, $f(x)=g(x)h(x)$인 $d,e\geq 1$차 다항식

$g(x)=s_{d}x^{d}+s_{d-1}x^{d-1}+\cdots +s_{0}\in R[x]$

$h(x)=t_{e}x^{e}+t_{e-1}x^{e-1}+\cdots +t_{0}\in R[x]$

가 존재한다.

$p\mid r_{0}=s_{0}t_{0}$

이며, $p$는 소원이므로, $p\mid s_{0}$이거나 $p\mid t_{0}$이다. 편의상 $p\mid s_{0}$이라고 하자. 그렇다면 $p^{2}\nmid r_{0}$이므로 $p\nmid t_{0}$이다. 이제,

$p\nmid r_{n}=s_{d}t_{e}$

이므로 $p\nmid s_{d}$이며,

$p\mid s_{0},\dots ,s_{k-1}$

$p\nmid s_{k}$

인 $1\leq k\leq d$를 취할 수 있다. 따라서

$p\nmid s_{0}t_{k}+s_{1}t_{k-1}+\cdots +s_{k-1}t_{1}+s_{k}t_{0}=r_{k}$

이며, $k\leq d<d+e=n$이므로 이는 모순이다.

예

아이젠슈타인 판정법에 따라, 정수 계수 다항식 $x^{4}+2\in \mathbb {Z} [x]$는 기약 다항식이다. 보다 일반적으로, 임의의 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 $a\geq 2$에 대하여, $x^{n}\pm a\in \mathbb {Z} [x]$는 기약 다항식이다. 이에 따라, 유리수체 $\mathbb {Q}$의 다항식환 $\mathbb {Q} [x]$는 실수체나 복소수체와 달리 임의 차수의 기약 다항식을 가진다. 또한, 2 이상의 제곱 인수가 없는 정수 $a\geq 2$의 거듭제곱근 ${\sqrt[{n}]{a}}$ ($n\geq 2$)는 항상 무리수이다.

소수 번째 원분 다항식

소수 $p$에 대하여,

$f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots +1={\frac {x^{p}-1}{x-1}}\in \mathbb {Q} [x]$

의 기약성은 아이젠슈타인 판정법으로 직접 판단할 수 없다. 하지만 $f(x)$의 기약성은

$f(x+1)={\frac {(x+1)^{p}-1}{x}}=\sum _{i=1}^{p}{\binom {p}{i}}x^{i-1}\in \mathbb {Q} [x]$

의 기약성과 동치이며,

$p\mid {\frac {p(p-1)\cdots 2\cdot 1}{i!}}={\binom {p}{i}}\qquad \forall i\in \{1,\dots ,p-1\}$

이므로 (이는 분모는 $p$의 배수이고 분자는 아니기 때문이다), 아이젠슈타인 판정법에 따라 $f(x+1)\in \mathbb {Q} [x]$는 기약 다항식이다. 따라서 $f(x)\in \mathbb {Q} [x]$ 역시 기약 다항식이다. 이는 $p$번째 원분 다항식과 같다.

유리 함수체 위의 다항식

아이젠슈타인 판정법에 따라, 초월 단순 확대 $K(t)/K$ 속 다항식

$x^{n}-t\in K(t)[x]$

는 기약 다항식이다. 이는 $K[t]$가 유일 인수 분해 정역이며, $t\in K[t]$가 그 기약원이기 때문이다.

같이 보기

• 콘의 기약성 기준
• 힐베르트의 기약성 정리

참고 문헌

• John B. Fraleigh, Victor Katz, A First Course In Abstract Algebra, Addison-Wesley, 2003.

외부 링크

• 이철희. “아이젠슈타인 기약다항식 판정법”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Eisenstein's Irreducibility Criterion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.