안둘레

그래프 이론과 매트로이드 이론에서 안둘레(영어: girth 거스^[*])는 그래프 또는 매트로이드 속의 가장 작은 “구멍”, 즉 최소의 순환의 크기이다. 마찬가지로 그래프 또는 매트로이드의 밖둘레(영어: circumference 서컴퍼런스^[*])는 최대의 순환의 크기이다.

정의

매트로이드

매트로이드 $X$의 회로들의 집합을

$\operatorname {Circ} (X)\subseteq \operatorname {Pow} (X)$

라고 하자.

매트로이드 $X$의 안둘레는 그 회로의 크기의 최솟값이다.

$\operatorname {girth} (X)=\min _{C\in \operatorname {Circ} (X)}|C|\in \{\kappa \in \operatorname {Card} \colon \kappa \leq |X|\}\sqcup \{+\infty \}$

여기서 $\operatorname {Card}$는 모든 기수들의 모임이다. 만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 안둘레를 형식적인 기호 $+\infty$로 정의한다.

매트로이드 $X$의 밖둘레는 그 회로의 크기의 최댓값이다.

$\operatorname {circ} (X)=\max _{C\in \operatorname {Circ} (X)}|C|\in \{\kappa \in \operatorname {Card} \colon \kappa \leq |X|\}\sqcup \{-\infty \}$

만약 회로가 존재하지 않는다면, 이 경우 밖둘레를 형식적인 기호 $-\infty$로 정의한다.

그래프

임의의 다중 그래프 $\Gamma$의 변들의 집합 $\operatorname {E} (\Gamma )$ 위에는 다음과 같은 두 매트로이드 구조를 줄 수 있다.^:§2.2

• (유한) 순환 매트로이드 $\operatorname {M} _{\text{FC}}(\Gamma )$에서, 회로는 $\Gamma$의 (유한) 순환이다.
• 접합 매트로이드 $\operatorname {M} _{\text{B}}(\Gamma )$에서, 회로는 접합(영어: bond)라고 하며, $\Gamma$의 변의 (유한 또는 무한) 집합 $S\subseteq \operatorname {E} (\Gamma )$ 가운데, 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
  • $\Gamma$의 연결 성분 가운데 적어도 하나 이상은 $\Gamma \setminus S$에서 연결 성분이 아니게 된다.
  • 임의의 $e\in S$에 대하여, $\Gamma$의 모든 연결 성분은 $\Gamma \setminus (S\setminus \{e\})$에서도 연결 성분으로 남는다.

이 두 매트로이드는 서로 쌍대 매트로이드를 이룬다.

다중 그래프 $\Gamma$의 안둘레는 그 순환 매트로이드 $\operatorname {M} _{\text{FC}}(\Gamma )$의 안둘레이다. 즉, 그래프 $\Gamma$의 안둘레는 그 그래프 속의 순환의 최소 길이이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 안둘레를 무한대로 정의한다. 즉, 그래프의 안둘레의 가능한 값은 다음과 같다.

$\{3,4,5,\dotsc \}\sqcup \{+\infty \}$

다중 그래프 $\Gamma$의 밖둘레는 그 순환 매트로이드 $\operatorname {M} _{\text{FC}}(\Gamma )$의 밖둘레이다. 즉, 그래프 속의 순환의 길이들의 상한이다. 순환을 갖지 않는 그래프(즉, 숲 그래프)의 경우, 밖둘레를 $-\infty$로 정의한다. 즉, 그래프의 밖둘레의 가능한 값은 다음과 같다.

$\{3,4,5,\dotsc \}\sqcup \{+\infty ,-\infty \}$

물론, 유한 그래프의 밖둘레는 $+\infty$가 될 수 없다.

다중 그래프 $\Gamma$의 변 연결도(邊連結度, 영어: edge connectivity)는 그 접합 매트로이드 $\operatorname {M} _{\text{FB}}(\Gamma )$의 안둘레이다. 즉, 그래프 $\Gamma$의 가장 작은 접합의 크기, 즉 새 연결 성분을 만들기 위해서 제거해야 하는 변의 수의 최솟값이다. 무한 그래프의 경우, 변 연결도는 (안둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 변 연결도는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 변 연결도는 $+\infty$로 놓는다.

마찬가지로, 다중 그래프 $\Gamma$의 접합 매트로이드의 밖둘레 (접합의 크기의 상한) 역시 정의될 수 있으며, 이를 최대 접합 크기(영어: maximum bond size)라고 하자. 무한 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 (밖둘레와 달리) 임의의 기수 값을 가질 수 있다. 무변 그래프가 아닌 모든 다중 그래프는 하나 이상의 접합을 가지므로, 이 경우 최대 접합 크기는 잘 정의된다. 무변 그래프의 경우, 최대 접합 크기는 $-\infty$로 놓는다.

성질

분리합집합

임의의 그래프들의 족 $\{\Gamma _{i}\}_{i\in I}$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {girth} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)=\min _{i\in I}\operatorname {girth} \Gamma _{i}$

$\operatorname {circ} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)=\sup _{i\in I}\operatorname {circ} \Gamma _{i}$

$\operatorname {girth} \left(\operatorname {M_{B}} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right)=\min _{i\in I}\operatorname {girth} \operatorname {M_{B}} (\Gamma _{i})$

$\operatorname {circ} \left(\operatorname {M_{B}} \left(\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{i}\right)\right)=\sup _{i\in I}\operatorname {circ} \operatorname {M_{B}} (\Gamma _{i})$

여기서 $\textstyle \bigsqcup$는 그래프의 분리합집합이다.

상계

꼭짓점이 $n$개인 유한 그래프의 밖둘레는 $n$ 이하이며, 이 상계는 해밀턴 순환에 의하여 포화된다. 즉, 밖둘레가 $n$인 것은 해밀턴 순환을 갖는 것과 동치이다.

차수 $r$의 정규 그래프 $\Gamma$에 대하여, 다음이 성립한다.

$|\operatorname {V} (\Gamma )|\geq {\begin{cases}1+r\sum _{i=0}^{(\operatorname {girth} \Gamma -3)/2}(r-1)^{i}&2\nmid \operatorname {girth} \Gamma \\2\sum _{i=0}^{(\operatorname {girth} \Gamma -2)/2}(r-1)^{i}&2\mid \operatorname {girth} \Gamma \end{cases}}$

이 부등식을 포화시키는 정규 그래프를 무어 그래프(영어: Moore graph)라고 한다.

그래프 $\Gamma$에서, 주어진 꼭짓점에 연결된 모든 변들의 집합은 접합을 이룬다. 따라서, 꼭짓점의 차수들의 상한은 그 최대 접합 크기의 하계를 이루며, 꼭짓점의 차수들의 최솟값은 변 연결도의 상계를 이룬다.

$\operatorname {girth} (\operatorname {M_{FB}} (\Gamma ))\leq \min _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg _{\Gamma }v\leq \sup _{v\in \operatorname {V} (\Gamma )}\deg _{\Gamma }v\leq \operatorname {circ} (\operatorname {M_{FB}} (\Gamma ))$

예

이름	기호	안둘레	밖둘레	변 연결도	최대 접합 크기
완전 그래프	$K_{n}$ ($n\geq 3$)	3	$n$	$n-1$	$\lfloor n^{2}/4\rfloor$
완전 이분 그래프	$K_{m,n}$ ($\min\{m,n\}\geq 2$)	4	$2\min\{m,n\}$	$\min\{m,n\}$	$\lfloor m/2\rfloor \lceil n/2\rceil +\lceil m/2\rceil \lfloor n/2\rfloor$
숲 그래프	$T$ ($|\operatorname {E} (T)|\geq 1$)	$+\infty$	$-\infty$	1	1
무변 그래프	${\bar {K}}_{n}$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
순환 그래프	$C_{n}$ ($n\geq 3$)	$n$	$n$	2	2
페테르센 그래프	$\operatorname {GPG} (5,2)$	5	9	3
데자르그 그래프	$\operatorname {GPG} (10,3)$	6	20	3

완전 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산:

완전 그래프 $K_{n}$의 접합을 제거하면, $a$개의 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는

$a(n-a)=n^{2}/4-(a-n/2)^{2}$

이다. 이를 최소화하려면, $|a-n/2|$를 최대화해야 한다. 이는 $a=1$(또는 $a=n-1$)에서 달성되며, 그 접합의 크기는 $n-1$이다.

반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, $|a-n/2|$를 최소화해야 하며, 이는 $a=\lfloor n/2\rfloor$(또는 $a=\lceil n/2\rceil$)에서 달성되며, 그 접합의 크기는 $\lfloor n^{2}/4\rfloor$이다.

완전 이분 그래프의 변 연결도 및 최대 접합 크기의 계산:

$m$개의 검은 꼭짓점 및 $n$개의 흰 꼭짓점을 갖는 완전 이분 그래프 $K_{m,n}$의 접합을 제거하면, $a$개의 흰 꼭짓점과 $b$개의 검은 꼭짓점으로 구성된 연결 성분이 생긴다고 하자. 그렇다면, 이를 분리하기 위해 제거해야 할 변의 수는

$a(n-b)+b(m-a)=mn/2-2(a-m/2)(b-n/2)$

이다. 이를 최소화하려면, $(a-m/2)(b-n/2)$를 최대화해야 한다. 이는 $(a,b)=(0,1)$ 또는 $(1,0)$ (또는 $(m,n-1)$ 또는 $(m-1,n)$)에서 달성되며, 그 접합의 크기는 $\min\{m,n\}$이다.

반대로, 접합의 크기를 최대화하려면, $(a-m/2)(b-n/2)$를 최소화해야 한다. 이는

$a=\lfloor m/2\rfloor$

$b=\lfloor n/2\rfloor$

에서 달성되며, 그 접합의 크기는

$\lfloor m/2\rfloor \lceil n/2\rceil +\lceil m/2\rceil \lfloor n/2\rfloor$

이다.

역사

무어 그래프의 개념은 미국의 수학자 에드워드 포리스트 무어(영어: Edward Forrest Moore, 1925~2003)가 도입하였다. 변 연결도는 카미유 조르당이 1869년에 도입하였다.

외부 링크

• “Graph, connectivity of a”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Girth”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Graph circumference”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Edge connectivity”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “k-edge-connected graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Ullery, Brooke (2007년 8월 3일). “Regular graphs of given girth” (PDF) (영어).