에르되시-보어와인 상수

에르되시-보와인 상수(Erdős–Borwein constant)는 이를 처음 만든 수학자 에르되시 팔과 피터 보와인의 이름을 따서 지어졌다.

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {2^{n}-1}}\approx 1.606695152415291763\dots$

이것은 메르센 수의 역 수열의 합을 취한것과 같다.

지수 $n$에 대한 메르센 수 $M_{n}=2^{n}-1$

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {2^{n}-1}}$

$\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {2^{n^{2}}}}{{2^{n}+1} \over {2^{n}-1}}$

$\;\;=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {2^{mn}}}$

$\;\;=1+\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {2^{n}(2^{n}-1)}}$

$\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }{{\sigma _{0}(n)} \over {2^{n}}}\qquad \qquad \left(\sigma _{0}(n)=d(n)\;\;,\sum _{d\mid n}d^{a}=\sigma _{a}(n)\right)$은 약수 함수

$\;\;=1-{{\psi _{1 \over 2}(1)} \over {ln}}\qquad \qquad \left(\psi _{q}^{(n)}(z)={{\partial ^{n}\psi _{q}(z)} \over {\partial z^{n}}}\right)$는 큐-폴리감마 함수

$\;\;=1.606695152415291763\cdots$

1948년, 에르되시는 에르되시-보와인 상수 E가 무리수임을 보였다. 이후에 보와인이 이를 다르게 증명하여 제시하였다.

같이 보기

• 수학 상수
• 감마 함수
• 큐-아날로그