일반위상수학 에서 완비 균등 공간 (完備均等空間, 영어 : complete uniform space )은 그 속에 "있어야 하지만 없는 점"이 없는 균등 공간 이다. 즉, 코시 그물 (영어 : Cauchy net )이라는 특별한 종류의 그물 은 "수렴하여야 하는" 그물이며, 모든 코시 그물이 실제로 수렴한다면 (즉, 수렴하는 점이 존재한다면) 그 균등 공간 을 완비 균등 공간이라고 한다. 이는 완비 거리 공간 의 개념의 일반화이다.
거리 공간 을 다룰 때는 코시 열 의 개념을 사용하지만, 임의의 균등 공간 을 다룰 때는 점렬 대신 필터 또는 그물 을 사용해야 한다.
완비 균등 공간 은 모든 코시 필터가 수렴 필터인 균등 공간이다. 이는 모든 코시 그물이 수렴하는 것과 동치이다. 이는 완비 거리 공간 의 개념의 일반화이다. 즉, 임의의 거리 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, X {\displaystyle X} 가 완비 균등 공간인 것은 X {\displaystyle X} 가 완비 거리 공간 인 것과 동치 이다.
코시 필터
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균등 공간 ( X , ( ≈ E ) E ∈ E ) {\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})} 위의 코시 필터 (영어 : Cauchy filter ) F ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} 는 다음 조건을 만족시키는 P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} 위의 필터 이다.
임의의 측근 E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} 에 대하여, F × F ⊆ E {\displaystyle F\times F\subseteq E} 가 되는 F ∈ F {\displaystyle F\in {\mathcal {F}}} 가 존재한다. ( X , ( ≈ E ) E ∈ E ) {\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})} 위의 코시 필터들의 집합은 포함 관계에 따라 부분 순서 집합 을 이룬다. 임의의 코시 필터 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} 에 대하여, F min ⊆ F {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\min }\subseteq {\mathcal {F}}} 인 극소 코시 필터 F min {\displaystyle {\mathcal {F}}_{\min }} 가 항상 유일하게 존재함을 보일 수 있다. 특히, 모든 점의 (균등 위상에 대한) 근방 필터 는 극소 코시 필터를 이룬다.
코시 그물
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필터 대신 그물 의 언어를 사용할 수도 있다.
상향 원순서 집합 ( I , ≲ ) {\displaystyle (I,\lesssim )} 를 정의역 으로, 균등 공간 ( X , ( ≈ E ) E ∈ E ) {\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})} 를 공역 으로 하는 그물 ( x i ) i ∈ I ⊆ X {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}\subseteq X} 이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 측근 E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 i ∈ I {\displaystyle i\in I} 가 존재한다면, ( x i ) i ∈ I {\displaystyle (x_{i})_{i\in I}} 를 코시 그물 (영어 : Cauchy net )이라고 한다.
임의의 j , k ≳ i {\displaystyle j,k\gtrsim i} 에 대하여, x j ≈ E x k {\displaystyle x_{j}\approx _{E}x_{k}} 주어진 코시 그물에 대하여, 이로부터 유도되는 필터는 항상 코시 필터이며, 반대로 코시 필터에 의하여 정의되는 그물은 코시 그물이다.
코시 그물은 코시 열 의 개념의 일반화이다. 즉, 거리 공간 속의 점렬 에 대하여, 코시 열 인 것은 코시 그물인 것과 동치 이다.
하우스도르프 완비화
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하우스도르프 완비 균등 공간들의 범주 HausCompUnif {\displaystyle \operatorname {HausCompUnif} } 는 모든 균등 공간들의 범주 Unif {\displaystyle \operatorname {Unif} } 의 반사 부분 범주 를 이룬다. 즉, 포함 함자
HausCompUnif ↪ Unif {\displaystyle \operatorname {HausCompUnif} \hookrightarrow \operatorname {Unif} } 는 왼쪽 수반 함자
¯ : Unif → HausCompUnif {\displaystyle {\bar {}}\colon \operatorname {Unif} \to \operatorname {HausCompUnif} } 를 갖는다. 이를 균등 공간의 하우스도르프 완비화 (영어 : Hausdorff completion )라고 한다.
이는 구체적으로 다음과 같다. 임의의 균등 공간 ( X , ( ≈ E ) E ∈ E ) {\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})} 의 극소 코시 필터들의 집합 을 min Cauchy ( X , E ) {\displaystyle \min \operatorname {Cauchy} (X,{\mathcal {E}})} 라고 표기하자. ( X , ( ≈ E ) E ∈ E ) {\displaystyle (X,(\approx _{E})_{E\in {\mathcal {E}}})} 의 하우스도르프 완비화 는 집합 으로서 X ¯ = min Cauchy ( X , E ) {\displaystyle {\bar {X}}=\min \operatorname {Cauchy} (X,{\mathcal {E}})} 이며, 그 위의 균등 공간 구조는 다음과 같은 기본계 B ¯ {\displaystyle {\bar {\mathcal {B}}}} 에 의하여 정의된다.
B ¯ = { C ( E ) : E ∈ E , E = E op } {\displaystyle {\bar {\mathcal {B}}}=\left\{{\mathfrak {C}}(E)\colon E\in {\mathcal {E}},\;E=E^{\operatorname {op} }\right\}}
F ≈ C ( E ) G ⟺ ∃ A ∈ Small ( E ) : A ∈ F ∩ G ( F , G ∈ X ¯ , E ∈ E ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\approx _{{\mathfrak {C}}(E)}{\mathcal {G}}\iff \exists A\in \operatorname {Small} (E)\colon A\in {\mathcal {F}}\cap {\mathcal {G}}\qquad ({\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in {\bar {X}},\;E\in {\mathcal {E}})}
Small ( E ) = { A ⊆ X : a ≈ E b ∀ a , b ∈ A } {\displaystyle \operatorname {Small} (E)=\{A\subseteq X\colon a\approx _{E}b\;\forall a,b\in A\}} 즉, 대칭 측근 E {\displaystyle E} 에 대하여, C ( E ) {\displaystyle {\mathfrak {C}}(E)} 는 적어도 하나 이상의 E {\displaystyle E} -작은 집합을 공유하는 극소 코시 필터 순서쌍 들의 집합이다.
완비 균등화 가능 공간
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위상 공간 X {\displaystyle X} 에 대하여, 만약 X {\displaystyle X} 위에 그 위상과 호환되는 완비 균등 공간 구조를 부여할 수 있다면, X {\displaystyle X} 를 완비 균등화 가능 공간 (完備均等化可能空間, 영어 : completely uniformizable space )이라고 한다.
모든 정칙 파라콤팩트 공간 은 완비 균등화 가능 공간이다.[1] :208, Problem 6.L(d)
참고 문헌
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외부 링크
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