완전 유계 공간

해석학에서 완전 유계 공간(完全有界空間, 영어: totally bounded space) 또는 프리콤팩트 공간(영어: precompact space)은 임의적으로 "작은" 집합들로 구성된 유한 덮개를 갖는 공간이다. 여기서 임의적으로 "작은" 집합의 개념은 거리 공간 구조 또는 보다 일반적으로 균등 공간 구조로 정의된다.

정의

균등 공간 $(X,{\mathcal {E}})$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 균등 공간을 완전 유계 공간이라고 한다.

• 임의의 측근 $E\in {\mathcal {E}}$에 대하여, $X_{1}^{2},X_{2}^{2},\dots ,X_{n}^{2}\subseteq E$인 유한 $X$-덮개 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\subseteq X$, $\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}X_{i}=X$가 존재한다.
• $(X,{\mathcal {E}})$의 완비화는 콤팩트 공간이다.
• $X$ 위의 모든 필터는 코시 부분 필터를 갖는다.
• $X$ 위의 모든 극대 필터는 코시 필터이다.

(이 조건들이 동치임을 보이는 것은 선택 공리를 필요로 한다.)

성질

완전 유계성은 완비화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 균등 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 완전 유계 공간이다.
• $X$의 완비화 ${\bar {X}}$는 완전 유계 공간이다.

균등 공간에 대한 하이네-보렐 정리에 따르면, 임의의 균등 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 콤팩트 공간이다.
• 완비 균등 공간이자 완전 유계 공간이다.

완전 유계 거리 공간

거리 공간은 자연스럽게 균등 공간 구조를 갖는다. 거리 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^:275

• 완전 유계 공간이다. 즉, 임의의 양의 실수 $\epsilon >0$에 대하여, 반지름이 $\epsilon$인 열린 공들로 구성된 유한 $X$-덮개가 존재한다.
• $X$의 모든 점렬은 코시 부분 점렬을 갖는다.

즉, (코시) 필터 대신 (코시) 점렬을 사용할 수 있다.

모든 완전 유계 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

예

유클리드 공간의 부분 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 유계 공간이다.
• 완전 유계 공간이다.

완전 유계 공간이 아닌 유계 공간

임의의 바나흐 공간의 단위 초구는 유계 공간이다. 그러나 임의의 바나흐 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 단위 초구가 완전 유계 공간이다.
• 유한 차원 바나흐 공간이다.

모든 (유한 또는 무한) 이산 거리 공간은 유계 공간이다. 그러나 임의의 이산 거리 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완전 유계 공간이다.
• 유한 집합이다.

외부 링크

• “Totally-bounded space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Totally bounded space”. 《nLab》 (영어). 
• “Precompact space”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: totally bounded”. 《ProofWiki》 (영어). 2012년 2월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함. 
• “Equivalence of definition s of total boundedness”. 《ProofWiki》 (영어). 2011년 6월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함. 
• “Totally bounded metric space is bounded”. 《ProofWiki》 (영어). 2011년 6월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 13일에 확인함. 
• “Totally bounded metric space”. 《Topospaces》 (영어).