원순서 집합

순서론에서 원순서 집합(原順序集合, 영어: preordered set, proset)은 그 속의 두 원소를 추이적으로 비교할 수 있는 집합이다. 부분 순서 집합과, 동치 관계를 갖는 집합의 공통적인 일반화이다. 어떤 집합의 몫집합 위의 부분 순서로도 생각할 수 있다.

정의

원순서 집합의 개념은 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 서로 동치이다.

• 순서론적으로, 특별한 이항 관계를 갖춘 집합으로 여길 수 있다.
• 범주론적으로, 특별한 작은 범주로 여길 수 있다.
• 위상수학적으로, 특별한 종류의 위상 공간으로 여길 수 있다.

순서론적 정의

집합 $X$ 위의 원순서는 다음 조건들을 만족시키는 이항 관계 ${\lesssim }\subseteq X^{2}$이다.

• (반사성) 임의의 $a\in X$에 대하여, $a\lesssim a$
• (추이성) 임의의 $a,b,c\in X$에 대하여, $a\lesssim b\lesssim c$라면 $a\lesssim c$

원순서를 갖춘 집합을 원순서 집합(영어: preordered set, proset)이라고 한다. 이 정의에 반대칭성($a\lesssim b\land b\lesssim a\implies a=b$)을 추가하면 부분 순서를 얻는다.

범주론적 정의

얇은 범주(-範疇, 영어: thin category) ${\mathcal {C}}$는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.

• 임의의 두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 및 그 사이의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$에 대하여, $f=g$이다. 즉, 사상 모임 $\hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$는 한원소 집합이거나 공집합이다.

범주론적으로, 원순서 집합은 얇은 작은 범주이다. 구체적으로, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$은 다음과 같은 범주로 여길 수 있다.

• $(X,\lesssim )$의 대상은 $X$의 원소이다.
• $(X,\lesssim )$의 사상은 $a\lesssim b$인 두 원소의 순서쌍 $(a,b)$이며, 이는 $a$에서 $b$로 가는 사상이다. 즉, 사상 모임이 다음과 같다.

  $\hom(a,b)={\begin{cases}\{(a,b)\}&a\lesssim b\\\varnothing &a\not \lesssim b\end{cases}}$

위상수학적 정의

알렉산드로프 공간(Александров空間, 영어: Alexandrov space)은 임의의 열린집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합이 열린집합인 위상 공간이다.

알렉산드로프 공간의 개념은 원순서 집합의 개념과 동치이다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 $X$에 대하여 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.

$x\lesssim y\iff x\in \operatorname {cl} \{y\}$

여기서 $\operatorname {cl} \{y\}$는 한원소 집합의 폐포이다. 반대로, 임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$이 주어졌을 때, 상집합을 열린집합으로, 하집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 부여할 수 있으며, 이렇게 하여 얻는 위상 공간은 항상 알렉산드로프 공간이다.

성질

원순서 집합 $(X,\lesssim )$가 주어졌을 경우, $X$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

$a\sim b{\stackrel {\text{def}}{\iff }}a\lesssim b\land b\lesssim a$

이에 따른 몫집합 $X/{\sim }$ 위에서 $\lesssim$은 부분 순서를 정의한다. 반대로, 어떤 집합 $X$의 몫집합 위에 부분 순서가 주어졌다면, 이는 $X$ 위의 원순서를 정의한다.

크기가 $n$인 유한 집합 위의 가능한 원순서의 수는 다음과 같다 ($n=0,1,2,\dots$).

1, 1, 4, 29, 355, 6942, 209527, 9535241, 642779354, (OEIS의 수열 A798)

유한 집합 위의 위상들과 원순서들 사이에는 표준적인 일대일 대응이 존재한다. 구체적으로, 위상 ${\mathcal {T}}$ (열린집합들의 집합)가 주어졌다면,

$a\lesssim b{\stackrel {\text{def}}{\iff }}\left(\forall U\in {\mathcal {T}}\colon b\in U\implies a\in U\right)$

와 같이 원순서를 정의할 수 있다. 반대로, 원순서 $\lesssim$가 주어졌다면,

$\{\{a\colon a\lesssim b\}\colon b\}$

를 기저로 하는 위상을 정의할 수 있다.

예

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 범주 $\operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X$를 다음과 같이 정의하자.

• $\operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X$의 대상은 공역이 $X$인 ${\mathcal {C}}$-단사 사상 $m\colon Y\hookrightarrow X$이다.
• $\operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X$의 두 대상 $\iota \in \hom _{\mathcal {C}}(Y,X)$, $\iota '\in \hom _{\mathcal {C}}(Y',X)$ 사이의 사상 $f\colon \iota \to \iota '$는 $\iota =\iota '\circ f$가 되는 ${\mathcal {C}}$-사상 $f\colon Y\to Y'$이다.

그렇다면, $\operatorname {Mono} ({\mathcal {C}})/X$는 (단사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 $X$의 부분 대상들의 모임 $\operatorname {Sub} (X)$이다.

마찬가지로, 범주 $X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})$를 다음과 같이 정의하자.

• $X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})$의 대상은 정의역이 $X$인 ${\mathcal {C}}$-전사 사상 $\pi \colon X\twoheadrightarrow Y$이다.
• $X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})$의 두 대상 $\pi \in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y)$, $\pi '\in \hom _{\mathcal {C}}(X,Y')$ 사이의 사상 $f\colon \pi \to \pi '$는 $f\circ \pi =\pi '$가 되는 ${\mathcal {C}}$-사상 $f\colon Y\to Y'$이다.

그렇다면, $X\backslash \operatorname {Epi} ({\mathcal {C}})$는 (전사 사상의 정의에 따라) 얇은 범주이다. 이에 대응하는 부분 순서 모임은 $X$의 몫 대상들의 모임 $\operatorname {Quot} (X)$이다.

외부 링크

• “Pre-order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Preorder”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Preorder”. 《nLab》 (영어). 
• “Thin category”. 《nLab》 (영어). 
• “Definition: preordering”. 《ProofWiki》 (영어).