유사 거리 공간

기하학에서 유사 거리 공간(類似距離空間, 영어: pseudometric space)은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 거리 공간이라고 한다.

정의

집합 $X$ 위의 확장 유사 거리 함수(擴張類似距離函數, 영어: extended pseudometric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

$d\colon X\times X\to [0,\infty ]$

이다.^{:12, §0.13}

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $d(x,x)=0$
• (대칭성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $d(x,y)=d(y,x)$
• (삼각 부등식) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다.

• (삼각 부등식) $d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)$

여기서 $y=x$로 잡으면 $d(y,x)=d(x,y)$가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 만약 $d$의 공역을 음이 아닌 확장된 실수 $[0,\infty ]$ 대신 음이 아닌 실수 $[0,\infty )$로 대체할 경우, 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수 $d$가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, (확장) 거리 함수라 한다.

• (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $d(x,y)=0\iff x=y$

(확장) 유사 거리 공간(영어: (extended) pseudometric space) $(X,d)$은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.^{:12, §0.13}

유사 거리 공간의 특별한 집합

 이 부분의 본문은 공 (수학)입니다.

확장 유사 거리 공간 $X$에서, 점 $x\in X$를 중심으로 하는, 반지름이 $r\in (0,\infty ]$인 열린 공 $\operatorname {ball} (x,r)$는 다음과 같다.

$B_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}$

유사 거리 공간 $X$의 유계 집합 $S\subset X$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

• $\sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty$인 점 $x\in X$가 존재한다.

거리 위상

확장 유사 거리 공간 $(X,d)$의 유사 거리 위상(類似距離位相, 영어: pseudometric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $U\subset X$이다.

모든 $x\in U$에 대하여, $\operatorname {ball} (x,r_{x})\subseteq U$인 $r_{x}>0$가 존재한다.

이에 따라 모든 확장 유사 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다. 그러나 거리 공간의 경우와 달리 이는 콜모고로프 공간이 되지 않을 수 있다.

연산

지름

확장 유사 거리 공간 $(X,d)$의 지름(영어: diameter) $\operatorname {diam} X$는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

$\operatorname {diam} X=\sup _{x,y\in X}d(x,y)\in [0,\infty ]$

마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 유계 유사 거리 공간 이라고 한다.

거리화

유사 거리 공간 $(X,d)$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

$x\sim y\iff d(x,y)=0\qquad \forall x,y\in X$

그렇다면, 이에 대한 몫집합 $X/\sim$ 위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

$d([x]_{\sim },[y]_{\sim })=d(x,y)\qquad \forall x,y\in X$

이에 따라 $X/\sim$은 거리 공간을 이룬다.

성질

유사 거리 공간 $(X,d)$의 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $(Y,d|_{Y\times Y})$는 유사 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질

 이 부분의 본문은 거리화 가능 공간입니다.

모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 파라콤팩트 공간이다.
• 완전 정규 공간이다.
• 제1 가산 공간이다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

예

불 대수 $B$ 위의 유한 유한 가법 측도 $\mu \colon B\to [0,\infty )$가 주어졌을 때, $\Sigma$ 위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.

$d(A,B)=d(A\bigtriangleup B)=d(A\setminus B)+d(B\setminus A)$

여기서 $\bigtriangleup$은 대칭차이다.

함수해석학에서, L^p 거리 공간 $L^{p}(X)$은 어떤 함수 공간 ${\mathcal {L}}^{p}(X)$의 거리 공간화로 정의되며, ${\mathcal {L}}^{p}(X)$는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.

외부 링크

• “Pseudo-metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudometric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Definition: pseudometric”. 《ProofWiki》 (영어).