이차 초곡면

기하학에서 이차 초곡면(二次超曲面, 영어: quadric)은 이차 다항식으로 정의되는 대수다양체이다.

정의

체 $K$에 대한 $n$변수 2차 다항식 $P(x_{1},\dots ,x_{n})$이 주어졌을 때, $P$에 대응하는 이차 초곡면은 다음과 같다.

$\operatorname {Spec} \mathbb {A} _{K}^{n}/(P(x_{1},\dots ,x_{n}))$

즉,

$\{(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {A} _{K}^{n}\colon P(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0\}$

이다. 이는 일반적으로 $n-1$차원 아핀 대수다양체를 이룬다.

만약 $P$가 이차 형식일 경우, 사영 공간 위에도 이차 초곡면을 정의할 수 있다. 즉, 주어진 이차 형식 $Q(x_{0},\dots ,x_{n})$이 0이 되는 동차 좌표를 갖는 점들로 구성된 사영 대수다양체를 생각할 수 있다. 이는 $n$차원 사영 공간 속의 $n-1$차원 사영 대수다양체를 이룬다.

2차원 이차 초곡면을 이차 곡면(영어: quadric surface)이라고 한다.

예

1차원 이차 초곡면

 이 부분의 본문은 원뿔 곡선입니다.

유클리드 공간의 1차원 이차 초곡면은 원뿔 곡선이라고 한다.

이차 곡면

유클리드 공간의 이차 곡면들은 다음과 같이 14가지가 있다.

비퇴화 이차 곡면
타원면	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,$		회전타원면	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1$		구	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1$
타원 포물면	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0$		원 포물면	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0$		쌍곡 포물면	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0$
일엽 쌍곡면	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1$		이엽 쌍곡면	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1$
퇴화 이차 곡면
타원뿔	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0$		원뿔	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over b^{2}}=0$		포물 기둥	$x^{2}+2ay=0$
타원기둥	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$		원기둥	${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1$		쌍곡 기둥	${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.