대역체
K
{\displaystyle K}
의 대수적 정수환
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
위의 유한 생성 자유 가군
O
K
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{n}}
위의 두 이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
,
Q
′
{\displaystyle Q'}
이 다음 조건을 만족시킨다면, 같은 종수 에 속한다고 한다.
K
{\displaystyle K}
의 모든 (유한 또는 무한) 자리
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에서,
Q
⊗
O
K
O
K
p
{\displaystyle Q\otimes _{{\mathcal {O}}_{K}}{\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}}
는
Q
′
⊗
O
K
O
K
p
{\displaystyle Q'\otimes _{{\mathcal {O}}_{K}}{\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}}
와 동치이다. (여기서
K
p
{\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}
는
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에서의 국소체 를 뜻하며,
O
K
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}}
는 그 대수적 정수환 이다. 만약
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
가 아르키메데스 자리라면,
O
K
p
=
K
p
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}=K_{\mathfrak {p}}}
이다.)
이는
O
K
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{n}}
위의 이차 형식들의 동치류들의 집합 위의 동치 관계 를 정의한다.
즉, 이는 하세-민코프스키 정리 와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.
즉,
V
=
K
n
{\displaystyle V=K^{n}}
위의 이차 형식
Q
{\displaystyle Q}
및
V
{\displaystyle V}
속의 두
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
-자유 가군
L
,
L
′
⊂
V
{\displaystyle L,L'\subset V}
가 주어졌을 때,
(
L
,
Q
|
L
)
{\displaystyle (L,Q|_{L})}
와
(
L
′
,
Q
|
L
′
)
{\displaystyle (L',Q|_{L'})}
이 같은 종수에 속한다는 것은 각 자리
p
∈
Places
(
K
)
{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}
에 대하여
L
⊗
K
K
p
=
f
p
(
L
′
⊗
K
K
p
)
⊂
V
⊗
K
K
p
{\displaystyle L\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}=f_{\mathfrak {p}}(L'\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}})\subset V\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}}}
가 되는
f
p
∈
O
(
V
⊗
K
K
p
,
Q
;
K
p
)
{\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \operatorname {O} (V\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}},Q;K_{\mathfrak {p}})}
가 존재한다는 것과 같다.
대역체
K
{\displaystyle K}
의 대수적 정수환
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
위의
n
{\displaystyle n}
차원 자유 가군
O
K
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{n}}
위의 이차 형식 종수
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
의 질량 (영어 : mass )은 다음과 같다.
m
(
G
)
=
∑
Q
∈
G
1
|
O
(
n
,
Q
;
O
K
)
|
{\displaystyle m({\mathcal {G}})=\sum _{Q\in {\mathcal {G}}}{\frac {1}{|\operatorname {O} (n,Q;\mathbb {O} _{K})|}}}
여기서
∑
Q
∈
G
{\displaystyle \textstyle \sum _{Q\in {\mathcal {G}}}}
는 종수
g
{\displaystyle g}
에 속한 모든 이차 형식 의 동치류
Q
{\displaystyle Q}
에 대한 합이다.
O
(
n
,
Q
;
O
K
)
=
{
f
∈
GL
(
n
;
O
K
)
:
Q
∘
f
=
Q
}
{\displaystyle \operatorname {O} (n,Q;\mathbb {O} _{K})=\{f\in \operatorname {GL} (n;{\mathcal {O}}_{K})\colon Q\circ f=Q\}}
는
Q
{\displaystyle Q}
에 대한 직교군 이다. 즉,
(
O
K
n
,
Q
)
{\displaystyle ({\mathcal {O}}_{K}^{n},Q)}
의 자기 동형군 이다.
|
⋯
|
{\displaystyle |\cdots |}
는 집합의 크기 이다.
즉, 질량은 종수에 속한 이차 형식의 수를 대칭군의 크기를 고려하여 센 것이다.
스피너 종수
편집
대역체
K
{\displaystyle K}
가 주어졌다고 하자.
O
K
n
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{n}}
위의 두 이차 형식
Q
,
Q
′
:
O
K
n
→
O
K
{\displaystyle Q,Q'\colon {\mathcal {O}}_{K}^{n}\to {\mathcal {O}}_{K}}
및
g
∈
O
(
n
,
Q
;
K
)
{\displaystyle g\in \operatorname {O} (n,Q;K)}
f
p
∈
Ω
(
n
,
Q
;
K
)
(
p
∈
Places
(
K
)
)
{\displaystyle f_{\mathfrak {p}}\in \operatorname {\Omega } (n,Q;K)\qquad ({\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K))}
에 대하여,
Q
(
v
)
=
Q
′
(
g
(
f
p
(
v
)
)
)
∀
v
∈
K
p
n
{\displaystyle Q(v)=Q'\left(g(f_{\mathfrak {p}}(v))\right)\qquad \forall v\in K_{\mathfrak {p}}^{n}}
가 성립한다면,
Q
{\displaystyle Q}
와
Q
′
{\displaystyle Q'}
이 같은 스피너 종수 에 속한다고 한다. 여기서
Ω
(
V
,
Q
;
K
)
=
ker
sn
⊆
O
(
V
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {\Omega } (V,Q;K)=\ker \operatorname {sn} \subseteq \operatorname {O} (V,Q;K)}
는 스피너 노름
sn
:
O
(
V
,
Q
;
K
)
→
K
×
/
(
K
×
)
2
{\displaystyle \operatorname {sn} \colon \operatorname {O} (V,Q;K)\to K^{\times }/(K^{\times })^{2}}
의 핵 이다.
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
계수의 이차 형식 들에 대하여 정의되는 동치 관계 들은 다음과 같다. 왼쪽으로 갈 수록 더 섬세한 동치 관계 이며, 오른쪽으로 갈 수록 더 엉성한 동치 관계 이다.
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
-동치 → 같은 스피너 종수에 속함 → 같은 종수에 속함 →
K
{\displaystyle K}
-동치 (= 모든 자리에 대하여
K
p
{\displaystyle K_{\mathfrak {p}}}
-동치)
이차 형식을 이차 형식
Q
:
V
→
K
{\displaystyle Q\colon V\to K}
가 주어진 벡터 공간
V
=
O
K
n
{\displaystyle V={\mathcal {O}}_{K}^{n}}
속의 격자들로 생각한다면, 이들의 정의에 등장하는 대칭군은 다음과 같다.
O
(
n
,
Q
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n,Q;K)}
→
O
(
n
,
Q
;
K
)
×
∏
p
′
Ω
(
n
,
Q
;
K
p
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n,Q;K)\times \prod _{\mathfrak {p}}'\operatorname {\Omega } (n,Q;K_{\mathfrak {p}})}
→
∏
p
′
O
(
n
,
Q
;
K
p
)
{\displaystyle \prod _{\mathfrak {p}}'\operatorname {O} (n,Q;K_{\mathfrak {p}})}
→
GL
(
n
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (n;K)}
사실, 종수를 정의하는 동치 관계는 아델 이론 을 사용하여 아델 직교군
O
(
V
A
,
Q
)
=
∏
p
∈
Places
(
K
)
′
O
(
V
⊗
K
K
p
,
Q
;
K
p
)
{\displaystyle \operatorname {O} (V_{\mathbb {A} },Q)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}'\operatorname {O} (V\otimes _{K}K_{\mathfrak {p}},Q;K_{\mathfrak {p}})}
로 생각할 수 있다. (여기서
∏
′
{\displaystyle \textstyle \prod '}
은 여유한 개의 원소가 1임을 뜻한다.)
O
(
V
A
)
{\displaystyle \operatorname {O} (V_{\mathbb {A} })}
는
V
{\displaystyle V}
위에 다음과 같이 작용한다. 우선, 하세-민코프스키 정리 에 의하여 다음 두 집합 사이에 자연스러운 전단사 함수 가 존재한다.
K
n
{\displaystyle K^{n}}
속의
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
-격자
L
⊂
K
n
{\displaystyle L\subset K^{n}}
각 자리에 대한 격자들의 열
(
L
p
⊆
K
p
n
)
p
∈
Places
(
K
)
{\displaystyle (L_{\mathfrak {p}}\subseteq K_{\mathfrak {p}}^{n})_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}}
가운데, 여유한 개의
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
에 대하여
L
p
=
O
K
p
n
⊂
K
p
n
{\displaystyle L_{\mathfrak {p}}={\mathcal {O}}_{K_{\mathfrak {p}}}^{n}\subset K_{\mathfrak {p}}^{n}}
인 것.
따라서,
(
g
p
)
p
∈
Places
(
K
)
∈
O
(
V
A
,
Q
)
{\displaystyle (g_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}\in \operatorname {O} (V_{\mathbb {A} },Q)}
는
L
↦
(
L
p
)
p
∈
Places
(
K
)
{\displaystyle L\mapsto (L_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}}
위에 다음과 같이 성분별로 작용한다.
(
L
p
)
p
∈
Places
(
K
)
↦
(
g
p
(
L
p
)
)
p
∈
Places
(
K
)
{\displaystyle (L_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}\mapsto \left(g_{\mathfrak {p}}(L_{\mathfrak {p}})\right)_{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} (K)}}
같은 종수에 속한 이차 형식들은 같은 판별식을 갖는다. 따라서, 주어진 종수에 속하는 이차 형식의 동치류의 수는 유한하다.
주어진 종수에 속하는 스피너 종수의 수는 항상 2의 거듭제곱이다.
질량 공식
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주어진 종수의 질량은 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식 (Smith-Minkowski-Siegel質量公式, 영어 : Smith–Minkowski–Siegel mass formula )으로 구체적으로 계산할 수 있다.
구체적으로,
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
일 때,
Q
n
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}
속의
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
-격자
Λ
{\displaystyle \Lambda }
가 속하는 종수의 질량은 다음과 같다.
m
(
Λ
)
=
2
π
−
n
(
n
+
1
)
/
4
∏
j
=
1
n
Γ
(
j
/
2
)
∏
p
2
m
p
(
Λ
)
{\displaystyle m(\Lambda )=2\pi ^{-n(n+1)/4}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (j/2)\prod _{p}2m_{p}(\Lambda )}
m
p
(
Λ
)
=
p
(
r
n
(
n
−
1
)
+
s
(
n
+
1
)
)
/
2
N
(
p
r
)
(
r
≫
1
)
{\displaystyle m_{p}(\Lambda )={\frac {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}}{N(p^{r})}}\qquad (r\gg 1)}
N
(
p
r
)
=
Aut
F
p
r
(
Q
⊗
Z
F
p
r
)
=
{
M
∈
Mat
(
n
;
F
p
r
)
:
M
⊤
A
M
}
{\displaystyle N(p^{r})=\operatorname {Aut} _{\mathbb {F} _{p^{r}}}(Q\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {F} _{p^{r}})=\{M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {F} _{p^{r}})\colon M^{\top }AM\}}
여기서
∏
p
{\displaystyle \textstyle \prod _{p}}
는 모든 소수에 대한 곱이다. (이는 항상 유한하다.)
(
r
≫
1
)
{\displaystyle (r\gg 1)}
은 충분히 큰
r
{\displaystyle r}
에 대하여 등식이 성립함을 뜻한다.
A
{\displaystyle A}
는 격자
Λ
{\displaystyle \Lambda }
의 그람 행렬이다.
이 공식은 자명한 경우인
n
=
0
,
1
{\displaystyle n=0,1}
일 때 성립하지 않을 수 있다. 이는 다음과 같은 점에서 기인한다.
m
(
Λ
)
{\displaystyle m(\Lambda )}
의 공식 맨 앞의 2는 특수 직교군
SO
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (n)}
의 다마가와 수(영어 : Tamagawa number )인데, 이는
n
<
2
{\displaystyle n<2}
일 때 1이다.
m
p
(
Λ
)
{\displaystyle m_{p}(\Lambda )}
의 공식 맨 앞의 2는 지표
[
O
(
n
)
:
SO
(
n
)
]
{\displaystyle [\operatorname {O} (n):\operatorname {SO} (n)]}
를 뜻한다. 이는
n
=
0
{\displaystyle n=0}
일 때 1이다.
2항 이차 형식의 종수의 개념 및 용어(라틴어 : genus 게누스[* ] , 복수 라틴어 : genera 게네라[* ] )는 카를 프리드리히 가우스 가 1801년에 《산술 연구》(라틴어 : Disquisitiones Arithmeticae )에서 도입하였다.[1] :Art. 231 [2] :11, Definition 1.2.5
1867년에 헨리 존 스티븐 스미스 는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.[3] 1885년에 헤르만 민코프스키 는 박사 학위 논문[4] 에서 임의의 이차 형식의 종수의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.
카를 루트비히 지겔 (1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였다.[5]
마르틴 아이클러(독일어 : Martin Eichler , 1912~1992)는 스피너 종수를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였다.
참고 문헌
편집
외부 링크
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