초등대수학에서 이항 정리(二項定理, 문화어: 두마디공식, 영어: binomial theorem)는 이항식의 거듭제곱을 이항 계수를 계수로 하는 일련의 단항식들의 합으로 전개하는 정리이다. 이항 정리를 사용하면 더욱 편리하게 계산할 수 있다.
조합론적 증명
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의 전개는 다음과 같은 개의 항으로 이루어진다.
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여기서
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또한, 꼴의 항의 개수는 개에서 개를 고르는 조합의 가짓수와 같으며, 즉 이항 계수 와 같다. 이는 각 항이 의 부분 집합과
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와 같이 일대일 대응하며, 이 경우 꼴의 항들은 의 원소 부분 집합들과 일대일 대응하기 때문이다. 따라서, 이항 정리가 성립한다.
수학적 귀납법을 통한 증명
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이항 계수의 항등식
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및 지수 에 대한 수학적 귀납법을 통해 이항 정리를 다음과 같이 증명할 수 있다. 우선, 의 경우 자명하게 성립한다. 즉,
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이제, 에 대하여 성립한다고 가정하자. 그렇다면,
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즉, 에 대하여 성립한다. 수학적 귀납법에 따라, 이항 정리는 임의의 에 대하여 성립한다.
관련 정리
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일반화된 이항 정리
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이항식을 거듭제곱하는 지수를 임의의 복소수 까지 확장할 수 있다. 이렇게 일반화된 이항 정리에선 전개가 무한 급수가 되며, 다음과 같다.
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여기서
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는 일반화된 이항 계수이다. 이항 정리는 일반화된 이항 정리에서 인 특수한 경우이다. 일 경우, 이 등식은 일 때 성립하며, 일 때 성립하지 않으며, 일 때의 성립 여부는 의 값에 따라 다르다.
다항 정리
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이항식 대신 여러 항의 다항식을 사용하면 다항 정리를 얻으며, 다음과 같다.
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이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
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이항 정리는 다항 정리에서 인 특수한 경우이다.
다중 이항 정리
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하나의 이항식의 거듭제곱 대신 여러 (중복이 가능한) 이항식들의 곱을 사용하면 다중 이항 정리를 얻으며, 다음과 같다.
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이를 다중지표를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
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이항 정리는 다중 이항 정리에서 인 특수한 경우이다.
가환환의 경우
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이항 정리는 임의의 가환환의 원소를 계수로 하는 다항식에 대해서도 성립한다. 이항 정리는 복소수 다항식에 대한 특수한 경우이다.
같이 보기
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참고 문헌
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외부 링크
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