정규화 부분군

군론에서 정규화 부분군(正規化部分群, 영어: normalizer 노멀라이저^[*])은 어떤 부분군을 정규 부분군으로 포함하는 가장 큰 부분군이다.

정의

모노이드 $M$의 부분 집합 $S\subseteq G$의 정규화 부분 모노이드(영어: normalizer submonoid)는 다음과 같은, $G$의 부분 집합이다.^{:30, Definition 1.68:161, Definition 8.11:AI.54, §AI.5.3}

$\operatorname {N} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS=Sm\}$

이는 $M$의 부분 모노이드를 이룬다.

사실, 임의의 모노이드 $M$의 부분 집합 $S$에 대하여 다음 두 집합 역시 각각 부분 모노이드를 이룬다.^{:4–5, Lemma 2.1}

$\operatorname {LN} _{M}(S)=\{m\in M\colon mS\subseteq Sm\}$

$\operatorname {RN} _{M}(S)=\{m\in M\colon Sm\subseteq mS\}$

이들은 $\operatorname {N} _{M}(S)$를 포함하지만, 일반적으로 이 세 집합은 (심지어 $M$이 군이며 $S$가 부분군이더라도) 서로 다르다.^:AI.54

군의 부분 집합의 정규화 부분 모노이드는 항상 부분군을 이루며, 이를 정규화 부분군이라고 한다. (그러나 $\operatorname {LN} _{G}(-)$ 및 $\operatorname {RN} _{G}(-)$는 일반적으로 부분군이 아니다.^:AI.54)

성질

임의의 모노이드 $M$의 부분 집합 $S\subseteq M$에 대하여, 정의에 따라 다음이 성립한다.

$\operatorname {N} _{M}(S)=\operatorname {LN} _{M}(S)\cap \operatorname {RN} _{M}(S)$

중심화 부분 모노이드는 항상 정규화 부분 모노이드의 부분 모노이드이다. 즉, 임의의 모노이드 $M$의 부분 집합 $S\subseteq M$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {C} _{M}(S)\subseteq \operatorname {N} _{M}(S)$

군

군 $G$의 부분 집합 $S\subseteq G$의 중심화 부분군은 $S$의 정규화 부분군의 정규 부분군이다.

$\operatorname {C} _{G}(S)\trianglelefteq \operatorname {N} _{G}(S)$

군의 경우 다음이 성립한다.

$\operatorname {LN} _{G}(S)=\left(\operatorname {RN} _{G}(S)\right)^{-1}$

$H\subseteq G$가 부분군이라고 하자. 그렇다면, $\operatorname {N} _{G}(H)$는 $H$를 정규 부분군으로 갖는 가장 큰 부분군이다. 즉, 임의의 부분군 $K\subseteq G$에 대하여, 만약 $H$가 $K$의 정규 부분군이라면, $K$는 $\operatorname {N} _{G}(H)$의 부분군이다.

$\forall K\in \operatorname {Sub} (G)\colon H\trianglelefteq K\leq G\implies K\leq \operatorname {N} _{G}(H)$

환

환의 부분 집합의 (곱셈에 대한) 정규화 부분 모노이드는 부분 모노이드이지만 일반적으로 부분환을 이루지 못한다.

나눗셈환 $D$의 경우, 다음이 성립한다.

$\operatorname {N} _{D}(D)=D$

증명:

임의의 $a\in D$에 대하여 $aD=Da$임을 보이면 족하다. 우선, 만약 $a=0$이라면 이는 자명하다. 따라서 $a\neq 0$이라고 가정하자. 그렇다면,

$D\supseteq aDa^{-1}\supseteq aa^{-1}Daa^{-1}=D$

이므로 $D=aDa^{-1}$이며 $Da=aD$이다.

예

만약 $M$이 가환 모노이드라면, 그 임의의 부분 집합의 정규화 부분군은 $M$ 전체이다.

한원소 집합의 정규화 부분 모노이드는 중심화 부분 모노이드와 같다. 즉, 임의의 모노이드 $M$의 원소 $m\in M$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {LN} _{M}(\{m\})=\operatorname {RN} _{M}(\{m\})=\operatorname {N} _{M}(\{m\})=\operatorname {C} _{M}(\{m\})$

공집합의 정규화 부분 모노이드는 (자명하게) 전체 집합이다. 즉, 임의의 모노이드 $M$에 대하여 다음이 성립한다.

$\operatorname {N} _{M}(\varnothing )=M$

임의의 군 $G$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\operatorname {N} _{G}(G)=G$

(그러나 이는 임의의 모노이드에 대하여 성립하지 못한다.)

외부 링크

• “Normalizer of a subset”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “One-sided normality of semigroup”. 《PlanetMath》 (영어).