케일리의 정리

군론에서 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 모든 군이 대칭군의 부분군과 동형이라는 정리이다. 아서 케일리의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 순열군을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 정칙표현(正則表現)이라고 한다.

집합 $G$ 위의 순열이란 $G$에서 $G$로 가는 전단사이다. $G$ 위의 모든 순열은 함수의 합성을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 $G$ 위의 대칭군이라 하며 $\operatorname {Sym} (G)$라 쓴다. 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 순열군과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “유한군이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”.

케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 $G$를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 $S_{3}$은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 $S_{6}$의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다.

역사

케일리는 현대와 같은 군을 처음으로 정의한 사람이다. 그 전까지 군(group)은 오늘날의 순열군을 뜻하는 말이었다. 케일리의 정리는 두 개념이 동치임을 보여준다.

1911년에 윌리엄 번사이드는 케일리의 정리를 1870년에 카미유 조르당이 처음 발표했다고 했지만, 에릭 누멜라는 일반적으로 쓰이는 이름인 “케일리의 정리”라는 이름이 사실 더 알맞다고 본다. 케일리는 자신의 1854년 논문에서 군과 순열군 사이에 일대일 대응을 만들 수 있음을 보였지만, 그 대응이 군 준동형사상임을 명시적으로 증명하지는 않았다. 하지만 누멜라는 케일리가 조르당보다 16년 앞서 수학계에 이 결과를 알렸다고 지적한다.

이후 발터 뒤크가 1882년에 자기 책에 케일리의 정리를 실었고 번사이드의 책의 1897년 초판에서는 케일리의 정리를 증명한 사람이 뒤크라고 소개했다.

증명

군 $(G,*)$의 각 원소 $g$에 대해 함수 $f_{g}:G\to G$를 $f_{g}(x)=g*x$로 정의하자. 이 함수는 역함수 $f_{g^{-1}}$을 지니므로, $G$ 위의 순열이고, $\operatorname {Sym} (G)$의 원소이다.

그러면 $K=\{f_{g}:g\in G\}$는 $\operatorname {Sym} (G)$의 부분군으로서 $G$와 동형이다. 이를 보이는 가장 빠른 방법은 함수 $T:G\to \operatorname {Sym} (G)$를 $T(g)=f_{g}$로 정의하는 것이다. 그러면 모든 $x\in G$에 대해

$(f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x)$

이므로,

$T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h)$

가 되어, $T$가 군 준동형사상임을 알 수 있다.

또 준동형사상 $T$는 단사인데, 왜냐하면 만약 $g*x=g'*x$라면 소거법칙에 의해 $g=g'$여야 하기 때문이다. 따라서 $G$는 $K$와 동형이다.

정칙표현

위 증명에서 $T$를 $G$의 정칙표현이라고 부른다. 또 $f_{g}(x)=g*x$를 $g$의 왼쪽 정칙표현이라고 하는데, $h_{g}(x)=x*g$로 정의되는 오른쪽 정칙표현을 사용해도 상관없다.

$G$의 항등원은 항등순열에 대응하고, 나머지 모든 원소는 교란순열에 대응한다. 이는 그 원소의 위수보다 낮은 지수의 거듭제곱인 원소도 마찬가지이므로, 각 원소는 똑같은 길이를 가진 순환치환들의 곱이다. 이때 순환치환의 길이는 그 원소의 위수와 같다. 각 순환치환의 원소들은 그 원소가 생성하는 부분군의 왼쪽 잉여류를 이룬다.

예를 들어 대칭군 $S_{3}$의 정칙표현은 다음과 같다.

*	e	a	b	c	d	f	순열 표현
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

참고 문헌

• Jacobson, Nathan (2009). 《Basic algebra》 2판. Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. .

같이 보기

• 요네다 보조정리
• 표현 정리