가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
정사각 행렬
A
∈
Mat
(
2
n
,
2
n
;
K
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;K)}
A
{\displaystyle A}
파피안
pf
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {pf} (A)}
pf
A
=
1
2
n
n
!
∑
σ
∈
Sym
(
2
n
)
sgn
(
σ
)
∏
i
=
1
n
A
σ
(
2
i
−
1
)
,
σ
(
2
i
)
∈
K
{\displaystyle \operatorname {pf} A={\frac {1}{2^{n}n!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2n)}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{\sigma (2i-1),\sigma (2i)}\in K}
여기서
Sym
(
2
n
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (2n)}
{
1
,
2
,
…
,
2
n
}
{\displaystyle \{1,2,\dotsc ,2n\}}
순열 들의 집합이다.
sgn
(
σ
)
∈
{
±
1
}
{\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )\in \{\pm 1\}}
순열의 부호수 이다.위 공식을 따르면,
K
{\displaystyle K}
n
!
{\displaystyle n!}
역수 가 존재해야 하는 것처럼 보이지만, 사실 그렇지 않다. 위 합에서, 각 항이
2
n
n
!
{\displaystyle 2^{n}n!}
{
1
,
2
,
…
,
2
n
}
{\displaystyle \{1,2,\dotsc ,2n\}}
분할 가운데, 크기 2의 집합들로 구성된 것들의 집합을
π
(
2
n
)
{\displaystyle \pi (2n)}
크기 는
|
π
(
2
n
)
|
=
(
2
n
)
!
2
n
n
!
{\displaystyle |\pi (2n)|={\frac {(2n)!}{2^{n}n!}}}
이다.
π
(
2
n
)
{\displaystyle \pi (2n)}
a
=
{
{
a
(
1
)
,
a
(
2
)
}
,
{
a
(
3
)
,
a
(
4
)
}
,
…
,
{
a
(
2
n
−
1
)
,
a
(
2
n
)
}
}
{\displaystyle a=\{\{a(1),a(2)\},\{a(3),a(4)\},\dotsc ,\{a(2n-1),a(2n)\}\}}
∀
k
:
a
(
2
k
)
<
a
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle \forall k\colon a(2k)<a(2k+1)}
a
(
1
)
<
a
(
3
)
<
a
(
5
)
<
⋯
<
a
(
2
k
−
1
)
{\displaystyle a(1)<a(3)<a(5)<\dotsb <a(2k-1)}
의 꼴로 적을 수 있다. 이를 순열
{
1
,
…
,
2
n
}
→
{
1
,
…
,
2
n
}
{\displaystyle \{1,\dotsc ,2n\}\to \{1,\dotsc ,2n\}}
k
↦
a
(
k
)
{\displaystyle k\mapsto a(k)}
로 간주했을 때, 이는 포함 사상
π
(
2
n
)
↪
Sym
(
2
n
)
{\displaystyle \pi (2n)\hookrightarrow \operatorname {Sym} (2n)}
pf
A
=
∑
a
∈
π
(
2
n
)
sgn
(
a
)
A
a
(
1
)
,
a
(
2
)
A
a
(
3
)
,
a
(
4
)
⋯
A
a
(
2
n
−
1
)
,
a
(
2
n
)
∈
K
{\displaystyle \operatorname {pf} A=\sum _{a\in \pi (2n)}\operatorname {sgn} (a)A_{a(1),a(2)}A_{a(3),a(4)}\dotsm A_{a(2n-1),a(2n)}\in K}
고윳값을 통한 정의
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실수 반대칭 행렬의 경우, 파피안은 고윳값 으로 간단히 표현된다.
2
n
×
2
n
{\displaystyle 2n\times 2n}
정사각 행렬
A
∈
Mat
(
2
n
,
2
n
;
R
)
{\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (2n,2n;\mathbb {R} )}
고윳값 이
±
i
λ
1
,
…
,
±
i
λ
n
{\displaystyle \pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}}
A
{\displaystyle A}
파피안
pf
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {pf} (A)}
λ
i
{\displaystyle \lambda _{i}}
pf
A
=
pf
[
0
λ
1
−
λ
1
0
0
⋯
0
0
0
λ
2
−
λ
2
0
0
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
0
λ
n
−
λ
n
0
]
=
λ
1
λ
2
⋯
λ
n
{\displaystyle \operatorname {pf} A=\operatorname {pf} {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{n}\\-\lambda _{n}&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}}
파피안은 항상 행렬 원소들에 대한 다항식 이다. 예를 들어, 4×4 행렬의 경우 파피안은 다음과 같다.
pf
[
0
a
b
c
−
a
0
d
e
−
b
−
d
0
f
−
c
−
e
−
f
0
]
=
a
f
−
b
e
+
d
c
{\displaystyle \operatorname {pf} {\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc}
짝수 차원 반대칭 행렬의 고윳값은
±
i
λ
1
,
…
,
±
i
λ
n
{\displaystyle \pm i\lambda _{1},\dots ,\pm i\lambda _{n}}
행렬식 은 파피안의 제곱이다. 즉, 식으로 쓰면 다음과 같다.
det
A
=
λ
1
2
λ
2
2
⋯
λ
n
2
=
(
pf
A
)
2
{\displaystyle \det A=\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}^{2}\cdots \lambda _{n}^{2}=\left(\operatorname {pf} A\right)^{2}}
홀수 차원 반대칭 행렬은 통상적으로 0으로 정의한다. 0×0 행렬의 파피안은 (0개의 수의 곱이므로) 통상적으로 1이다.
짝수 차원 반대칭 행렬
A
{\displaystyle A}
2차 미분 형식
ω
{\displaystyle \omega }
ω
=
1
2
∑
i
=
1
2
n
∑
j
=
1
2
n
A
i
j
d
x
i
∧
d
x
j
{\displaystyle \omega ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{2n}\sum _{j=1}^{2n}A_{ij}dx^{i}\wedge dx^{j}}
그렇다면 그 파피안은 다음과 같다.
ω
n
/
n
!
=
pf
(
A
)
d
x
1
∧
⋯
∧
d
x
2
n
{\displaystyle \omega ^{n}/n!=\operatorname {pf} (A)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{2n}}
파피안의 개념은 아서 케일리 가 1852년의 한 논문에서 도입하였으며,[1] 요한 프리드리히 파프 의 이름을 땄다. 이 논문에서 케일리는 다음과 같이 적었다.
“
파프 의 미분 방정식 에 대한 연구와 연관이 있으므로, 이런 유의 순열식(順列式)은 “파피안”이라고 부르도록 하겠다.[…] the permutants of this class (from their connexion with the researches of Pfaff on differential equations) I shall term “Pfaffians.”
”
참고 문헌
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외부 링크
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