펠 방정식

펠 방정식(Pell方程式, 영어: Pell's equation)은 디오판토스 방정식의 하나이다.

$n=2$인 경우의 펠 방정식

정의

펠 방정식은 다음과 같은, $x,y$에 대한 디오판토스 방정식이다.

$x^{2}-ny^{2}=1\qquad x,y\in \mathbb {Z} ^{+}$

여기서 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$은 제곱수가 아닌 양의 정수이다. 대수적 수론의 용어를 사용하면, 펠 방정식은 이차 수체 $\mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]$에서 노름이 1인 원소들 $x+y{\sqrt {n}}$을 찾는 문제이다.

해법

펠 방정식의 해법은 두 단계로 나뉜다.

1. 주어진 n에 대하여, $x_{1}$이 최소인 해 $(x_{1},y_{1})$을 구한다. 이 해를 기본해(영어: fundamental solution)라고 한다.
2. 기본해로부터 다른 모든 해들을 계산한다.

기본해의 계산

펠 방정식의 기본해는 다음과 같이 계산할 수 있다. 우선

${\frac {x}{y}}\left(1-1/2x^{2}-1/8x^{4}-1/16x^{6}-\cdots \right)={\sqrt {x^{2}-1}}/y={\sqrt {n}}$

이므로, $x/y$는 ${\sqrt {n}}$을 근사하는 것을 알 수 있으며, 그 오차는 ($x>1$이라면)

$0<x/y-{\sqrt {n}}={\frac {x-{\sqrt {x^{2}-1}}}{y}}<1/y$

이다. 따라서, $x/y$는 ${\sqrt {n}}$의 최적 유리 근사이다. 따라서, 기본해는 ${\sqrt {n}}$의 연분수 전개를 계산하여, 이를 주어진 차수에서 절단한 유리 근사들을 계산한 뒤, 이들이 펠 방정식을 만족시키는지 시험하여 얻을 수 있다.

추가 해의 계산

펠 방정식의 기본해 $(x_{1},y_{1})$이 주어지면, 나머지 해 $(x,y)$는 모두 다음과 같은 꼴로 주어진다.

$x_{k}+y_{k}{\sqrt {n}}=(x_{1}+y_{1}{\sqrt {n}})^{k}$

즉, 다음과 같은 점화식에 의하여 주어진다.

$x_{k+1}=x_{1}x_{k}+ny_{1}y_{k}$

$y_{k+1}=x_{1}y_{k}+y_{1}x_{k}$

역사

펠 방정식은 이미 기원전 수 세기전부터, 무리 제곱근의 유리 근삿값을 구하기 위하여 널리 연구되었다.

인도 수학

기원전 800년 경의 인도 수학자 바우다야나(산스크리트어: बौधायन)는 《바우다야나 슐바 수트라》(산스크리트어: बौधायन शुल्ब सूत्र) 61절~62절에서 ${\sqrt {2}}$에 대하여 다음과 같은 유리 근삿값을 언급한다.

정사각형의 두 배. 길이를 1/3만큼 증가시키고, 1/4만큼 증가시키고, 1/34만큼 감소시킨다. 이것이 대각선의 길이다.
समस्य द्विकरणी प्रमाणं तृतीयेन वर्धयेत्
तच् चतुर्थेनात्मचतुस्त्रिंशोनेन सविशेषः

즉, 다음과 같은 근삿값이다.

${\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {17}{12}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}$

이 근삿값들은 $n=2$ 펠 방정식으로부터 유도된 것으로 추측된다. 즉, $n=2$ 펠 방정식의 해

$(x,y)=(17,12)$

$(x,y)=(577,408)$

로부터 유도된 것이다.

기원후 7세기의 브라마굽타는 628년 경 출판된 책 《브라마스푸타시단타》(산스크리트어: ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त)에서, 오늘날 브라마굽타 항등식이라고 불리는 공식을 사용하여 펠 방정식의 해에 대한 점화식을 발견하였다. 12세기의 바스카라 2세(산스크리트어: भास्कराचार्य, 1114–1185)는 1150년에 일반적인 n에 대한 펠 방정식의 일반해를 유도하였고, 이를 사용하여 $n=61$인 경우의 해

$x=1766319049,y=226153980$

를 제시하였다.

그리스와 아랍 수학

기원전 3세기에, 아르키메데스는 $n=3$ 펠 방정식을 사용하여 3의 제곱근에 대한 다음과 같은 유리 근삿값을 얻었다.

${\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}$

기원후 205년 경에 디오판토스는 다음과 같은 디오판토스 방정식을 고려하였다.

$a^{2}x^{2}+c=y^{2}$

그는 이 방정식을 $a=1,c=-1,1,12$일 때와, $a=3,c=3$일 때에 대하여 풀었다. 기원후 10세기 페르시아의 수학자 알카라지(페르시아어: ابوبکر کرجی)는 디오판토스의 기법을 바탕으로 하여 펠 방정식에 대한 연구를 계속하였다.

유럽 수학

유럽 수학에서 펠 방정식의 일반해는 17세기 영국의 윌리엄 브롱커가 최초로 발견하였다. 브롱커의 해법이 옳고, 이 해법으로 모든 해를 구할 수 있다는 것은 조제프루이 라그랑주가 1766년~1769년 동안 증명하였고, 펠 방정식이 항상 무한히 많은 해를 가진다는 것을 증명하였다.

"펠 방정식"이라는 이름은 영국의 수학자 존 펠(영어: John Pell, 1611 – 1685)의 이름을 딴 것이다. 펠은 펠 방정식과 별다른 관계가 없으나, 레온하르트 오일러가 1759년에 펠과 브롱커의 이름을 혼동하여 잘못 이름붙였다.

참고 문헌

• Lenstra, H. W., Jr. (2002년 2월). “Solving the Pell Equation” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 49 (2): 182–192. Zbl 1126.11312. 
• Williams, H. C. (2002). 〈Solving the Pell equation〉. Bennett, M. A.; Berndt, B.C.; Boston, N.; Diamond, H.G.; Hildebrand, A.J.; Philipp, W. 《Surveys in number theory: Papers from the millennial conference on number theory》 (영어). Natick, MA: A K Peters. 325–363쪽. ISBN 1-56881-162-4. Zbl 1043.11027. 
• 황석근 (2012년 2월 25일). 《ENV 정수론》. 교우 시리즈 2. 교우미디어. ISBN 978-89-968148-6-3. 2014년 4월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 4월 13일에 확인함. 
• 오정환; 이준복 (2009). 《정수론》. 교우사. ISBN 89-8172-105-X. 2014년 4월 13일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 4월 13일에 확인함. 

외부 링크

• “Pell equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pell equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “펠 방정식(Pell's equation)”. 《수학노트》.