고전역학 에서 평행축 정리 (平行軸定理, parallel-axis theorem )란 서로 평행한 두 회전축 에 대한 관성 모멘트 들 사이의 관계에 대한 정리다. 이 정리를 써서, 한 축에서의 관성 모멘트 를 알면 이와 평행한 임의의 축에서의 관성 모멘트 를 구할 수 있다.
스칼라 관성 모멘트에 대한 평행축 정리
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I
cm
{\displaystyle I_{\textrm {cm}}}
d
{\displaystyle d}
I
{\displaystyle I}
강체 의 질량을
m
{\displaystyle m}
I
=
I
cm
+
m
d
2
{\displaystyle I=I_{\textrm {cm}}+md^{2}}
먼저 두 회전축은 모두 z축에 평행하다고 하자. 이 때,
I
cm
{\displaystyle I_{\textrm {cm}}}
I
cm
=
∑
i
m
i
(
x
i
2
+
y
i
2
)
{\displaystyle I_{\textrm {cm}}=\sum _{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)}
질량 중심 을 직교좌표계 의 중심으로 놓고 xy평면 상에서 새로운 회전축의 좌표를
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
피타고라스의 정리 에 의해
d
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}}
이 되고, 새로운 관성 모멘트
I
{\displaystyle I}
I
=
∑
i
m
i
[
(
x
i
−
a
)
2
+
(
y
i
−
b
)
2
]
{\displaystyle I=\sum _{i}m_{i}\left[(x_{i}-a)^{2}+(y_{i}-b)^{2}\right]}
이 된다. 3차원 물체의 경우, 위 두 관성 모멘트의 식에서 z에 대한 항이 나오지는 않지만 강체 전체의 관성 모멘트를 구하기 위해선 질량항과 합에서 이를 고려해야 함에 유의하자. 이제 위 식을 전개해보자.
I
=
∑
i
m
i
(
x
i
2
+
y
i
2
)
−
2
a
∑
i
m
i
x
i
−
2
b
∑
i
m
i
y
i
+
(
a
2
+
b
2
)
∑
i
m
i
{\displaystyle I=\sum _{i}m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)-2a\sum _{i}m_{i}x_{i}-2b\sum _{i}m_{i}y_{i}+\left(a^{2}+b^{2}\right)\sum _{i}m_{i}}
이 식의 첫 번째 항은
I
cm
{\displaystyle I_{\textrm {cm}}}
m
{\displaystyle m}
I
=
I
cm
+
m
d
2
{\displaystyle I=I_{\textrm {cm}}+md^{2}}
점입자가 아닌 커다란 강체에 대해서도 시그마 를 인테그랄 로, 질량을 질량무한소 로 바꾸면 똑같은 결과를 얻을 수 있다.
관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리
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관성 모멘트 텐서에 대한 평행축 정리도 위와 약간 유사하지만 조금 다른 형태를 가지고 있다. 질량 중심 을 지나는 축에 대한 관성 모멘트 텐서를
I
{\displaystyle \mathbf {I} }
I
′
{\displaystyle \mathbf {I} '}
직교좌표계 에서 이들의 성분에 대한 평행축 정리는 다음과 같다.
I
i
j
′
=
I
i
j
+
m
(
a
2
δ
i
j
−
a
i
a
j
)
{\displaystyle I'_{ij}=I_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j})}
여기서
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
벡터 이고
δ
i
j
{\displaystyle \delta _{ij}}
크로네커 델타 이다.
스칼라 관성 모멘트의 경우와 마찬가지로 질량 중심에 대한 회전축과 새로운 회전축이 평행하다 가정하고, 좌표로 이를 표현했을 때, 질량중심 을 기준으로 하는 원래 좌표
O
{\displaystyle O}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
O
′
{\displaystyle O'}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
직교좌표계 로 표현되는 새로운 좌표에서의 관성모멘트 텐서의 성분은 다음과 같다.
I
i
j
′
=
∑
n
m
n
(
|
r
n
′
|
2
δ
i
j
−
r
n
i
′
r
n
j
′
)
{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left(|\mathbf {r} '_{n}|^{2}\delta _{ij}-r'_{ni}r'_{nj}\right)}
여기서
n
{\displaystyle n}
i
{\displaystyle i}
j
{\displaystyle j}
r
n
′
=
r
n
−
a
{\displaystyle \mathbf {r} '_{n}=\mathbf {r} _{n}-\mathbf {a} }
를 대입하면
I
i
j
′
=
∑
n
m
n
[
|
r
n
−
a
|
2
δ
i
j
−
(
r
n
i
−
a
i
)
(
r
n
j
−
a
j
)
]
{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[|\mathbf {r} _{n}-\mathbf {a} |^{2}\delta _{ij}-\left(r_{ni}-a_{i}\right)\left(r_{nj}-a_{j}\right)\right]}
조금 복잡하지만 이를 전개하면
I
i
j
′
=
∑
n
m
n
[
(
|
r
n
|
2
−
2
r
n
⋅
a
+
|
a
|
2
)
δ
i
j
−
(
r
n
i
r
n
j
−
r
n
i
a
j
−
r
n
j
a
i
+
a
i
a
j
)
]
{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}-2\mathbf {r} _{n}\cdot \mathbf {a} +|\mathbf {a} |^{2}\right)\delta _{ij}-\left(r_{ni}r_{nj}-r_{ni}a_{j}-r_{nj}a_{i}+a_{i}a_{j}\right)\right]}
항이 많지만,
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
O
{\displaystyle O}
i
{\displaystyle i}
∑
n
m
n
r
n
i
=
0
{\displaystyle \sum _{n}m_{n}r_{ni}=0}
임을 활용하면 두 번째, 다섯 번째, 여섯 번째 항이 사라지고 몇 개의 항만이 남는다.
I
i
j
′
=
∑
n
m
n
[
(
|
r
n
|
2
+
|
a
|
2
)
δ
i
j
−
(
r
n
i
r
n
j
+
a
i
a
j
)
]
{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}+|\mathbf {a} |^{2}\right)\delta _{ij}-\left(r_{ni}r_{nj}+a_{i}a_{j}\right)\right]}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
I
i
j
′
=
∑
n
m
n
(
|
r
n
|
2
δ
i
j
−
r
n
i
r
n
j
)
−
∑
n
m
n
(
|
a
|
2
δ
i
j
−
a
i
a
j
)
{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}\delta _{ij}-r_{ni}r_{nj}\right)-\sum _{n}m_{n}\left(|\mathbf {a} |^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}\right)}
을 얻는다. 여기서 첫 번째 합의 경우,
I
i
j
{\displaystyle I_{ij}}
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
n
{\displaystyle n}
m
n
{\displaystyle m_{n}}
I
i
j
′
=
I
i
j
+
m
(
a
2
δ
i
j
−
a
i
a
j
)
{\displaystyle I'_{ij}=I_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j})}
참고 문헌
편집
Hugh D. Young; Roger A. Freedman (2004). 〈9.5 Parallel-Axis Theorem〉. 《Sears and Zemansky's University Physics: with Modern Physics》 11판. Addison Wesley. p. 345-6쪽. 문희태(2006), 『개정판 고전역학』, 서울 : 서울대학교출판부, 233-4쪽.
Eric Weisstein. “Parallel Axis Theorem” . 《Eric Weisstein's World of Physics》. 2008년 8월 18일에 확인함 . 
![{\displaystyle I=\sum _{i}m_{i}\left[(x_{i}-a)^{2}+(y_{i}-b)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c876cb80be6379f45aca0978e156d9e23aab2b7e)
![{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[|\mathbf {r} _{n}-\mathbf {a} |^{2}\delta _{ij}-\left(r_{ni}-a_{i}\right)\left(r_{nj}-a_{j}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1c38909a37ca118b99bdd3144edc3b9a1a1f9bc)
![{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}-2\mathbf {r} _{n}\cdot \mathbf {a} +|\mathbf {a} |^{2}\right)\delta _{ij}-\left(r_{ni}r_{nj}-r_{ni}a_{j}-r_{nj}a_{i}+a_{i}a_{j}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f034c7859e9c2e76a5b9ada7e1d8e25b34eca41b)
![{\displaystyle I'_{ij}=\sum _{n}m_{n}\left[\left(|\mathbf {r} _{n}|^{2}+|\mathbf {a} |^{2}\right)\delta _{ij}-\left(r_{ni}r_{nj}+a_{i}a_{j}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3244effa853d4d383aee543989a147c148d9a2a)
